y^2-42y+216=0 حل کریں

$$y ^ { 2 } - 42 y + 216 = 0$$

y کے لئے حل کریں

$$y=6$$

$$y=36$$

فیکٹرنگ کا استعمال کرتے ہوئے اقدامات کریں

مساوات حل کرنے کیلئے، فیکٹر y^{2}-42y+216 فالمولہ y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right) استعمال کر رہا ہے۔ a اور b حاصل کرنے کی غرض سے، حل کرنے کیلئے سسٹم سیٹ کریں۔

$$a+b=-42 ab=216$$

چونکہ ab مثبت ہے، a اور b کی علامت یکساں ہے۔ چونکہ a+b منفی ہے، a اور b بھی منفی ہیں۔ ایسے تمام صحیح اعداد کے جوڑے درج کریں جن کا حاصل 216 ہوتا ہے۔

$$-1,-216 -2,-108 -3,-72 -4,-54 -6,-36 -8,-27 -9,-24 -12,-18$$

ہر جوڑے کی رقم کا حساب لگائیں۔

$$-1-216=-217 -2-108=-110 -3-72=-75 -4-54=-58 -6-36=-42 -8-27=-35 -9-24=-33 -12-18=-30$$

حل ایک جوڑا ہے جو میزان -42 دیتا ہے۔

$$a=-36 b=-6$$

حاصل شدہ اقدار کا استعمال کر کے فیکٹر شدہ اظہار \left(y+a\right)\left(y+b\right) دوبارہ لکھیں۔

$$\left(y-36\right)\left(y-6\right)$$

مساوات کا حل تلاش کرنے کیلئے، y-36=0 اور y-6=0 حل کریں۔

$$y=36 y=6$$

گروپنگ کے ذریعے فیکٹرنگ کا استعمال کرتے ہوئے اقدامات کریں

مساوات حل کرنے کیلئے، گروپنگ کرکے بائیں جانب فیکٹر کریں۔ پہلے، بائیں جانب کو y^{2}+ay+by+216 بطور دوبارہ لکھنا ہو گا۔ a اور b حاصل کرنے کی غرض سے، حل کرنے کیلئے سسٹم سیٹ کریں۔

$$a+b=-42 ab=1\times 216=216$$

چونکہ ab مثبت ہے، a اور b کی علامت یکساں ہے۔ چونکہ a+b منفی ہے، a اور b بھی منفی ہیں۔ ایسے تمام صحیح اعداد کے جوڑے درج کریں جن کا حاصل 216 ہوتا ہے۔

$$-1,-216 -2,-108 -3,-72 -4,-54 -6,-36 -8,-27 -9,-24 -12,-18$$

ہر جوڑے کی رقم کا حساب لگائیں۔

$$-1-216=-217 -2-108=-110 -3-72=-75 -4-54=-58 -6-36=-42 -8-27=-35 -9-24=-33 -12-18=-30$$

حل ایک جوڑا ہے جو میزان -42 دیتا ہے۔

$$a=-36 b=-6$$

y^{2}-42y+216 کو بطور \left(y^{2}-36y\right)+\left(-6y+216\right) دوبارہ تحریر کریں۔

$$\left(y^{2}-36y\right)+\left(-6y+216\right)$$

پہلے گروپ میں y اور دوسرے میں -6 اجزائے ضربی میں تقسیم کریں۔

$$y\left(y-36\right)-6\left(y-36\right)$$

عام اصطلاح y-36 کا منقسم خاصیت استعمال کرتے ہوئے اجزائے ضربی میں تقسیم کریں۔

$$\left(y-36\right)\left(y-6\right)$$

مساوات کا حل تلاش کرنے کیلئے، y-36=0 اور y-6=0 حل کریں۔

$$y=36 y=6$$

مربعی فارمولا کا استعمال کرنے کے اقدامات

اس فارم ax^{2}+bx+c=0 کی تمام مساواتیں مربعی فارمولہ: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} کو استعمال کرتے ہوئے حل کی جاسکتی ہیں۔ مربعی فارمولا دو طرح کے حل فراہم کرتا ہے۔ ایک جب ± جمع شدہ ہوتا ہے اور تب جب یہ منہا کردہ ہوتا ہے۔

$$y^{2}-42y+216=0$$

یہ مساوات معیاری وضع میں ہے: ax^{2}+bx+c=0۔ مربعی فارمولا \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} میں a کے لئے 1 کو، b کے لئے -42 کو اور c کے لئے 216 کو متبادل کریں۔

$$y=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{\left(-42\right)^{2}-4\times 216}}{2}$$

مربع -42۔

$$y=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{1764-4\times 216}}{2}$$

-4 کو 216 مرتبہ ضرب دیں۔

$$y=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{1764-864}}{2}$$

1764 کو -864 میں شامل کریں۔

$$y=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{900}}{2}$$

900 کا جذر لیں۔

$$y=\frac{-\left(-42\right)±30}{2}$$

-42 کا مُخالف 42 ہے۔

$$y=\frac{42±30}{2}$$

جب ± جمع ہو تو اب مساوات y=\frac{42±30}{2} کو حل کریں۔ 42 کو 30 میں شامل کریں۔

$$y=\frac{72}{2}$$

72 کو 2 سے تقسیم کریں۔

$$y=36$$

جب ± منفی ہو تو اب مساوات y=\frac{42±30}{2} کو حل کریں۔ 30 کو 42 میں سے منہا کریں۔

$$y=\frac{12}{2}$$

12 کو 2 سے تقسیم کریں۔

$$y=6$$

مساوات اب حل ہو گئی ہے۔

$$y=36 y=6$$

مربع مکمل کرنے کے لیے اقدامات

اس قسم کی مربعی قواعد مربع مکمل کرنے کے بعد حل ہوسکتی ہیں۔ مربع کو مکمل کرنے کے لیئے، مساوات کو پہلے اس شکل میں ہونا ضروری ہے x^{2}+bx=c۔

$$y^{2}-42y+216=0$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 216 منہا کریں۔

$$y^{2}-42y+216-216=-216$$

216 کے خود سے منہا کرنے پر 0 ہی بچتا ہے۔

$$y^{2}-42y=-216$$

2 سے -21 حاصل کرنے کے لیے، -42 کو x اصطلاح کے کو ایفیشنٹ سے تقسیم کریں۔ پھر -21 کے مربع کو مساوات کی دونوں جانب جمع کریں۔ یہ مرحلہ مساوات کی بائیں ہاتھ کی جانب کو ایک مکمل مربع بناتا ہے۔

$$y^{2}-42y+\left(-21\right)^{2}=-216+\left(-21\right)^{2}$$

مربع -21۔

$$y^{2}-42y+441=-216+441$$

-216 کو 441 میں شامل کریں۔

$$y^{2}-42y+441=225$$

فیکٹر y^{2}-42y+441۔ عمومی طور پر جب x^{2}+bx+c ایک کامل مربع ہوگا تو اسے ہمیشہ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} کی طرح فیکٹر کیا جا سکتا ہے۔

$$\left(y-21\right)^{2}=225$$

مساوات کی دونوں اطراف کا جذر لیں۔

$$\sqrt{\left(y-21\right)^{2}}=\sqrt{225}$$

سادہ کریں۔

$$y-21=15 y-21=-15$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 21 کو شامل کریں۔

$$y=36 y=6$$