n^2-25n+144=0 حل کریں

$$n ^ { 2 } - 25 n + 144 = 0$$

n کے لئے حل کریں

$$n=9$$

$$n=16$$

فیکٹرنگ کا استعمال کرتے ہوئے اقدامات کریں

مساوات حل کرنے کیلئے، فیکٹر n^{2}-25n+144 فالمولہ n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right) استعمال کر رہا ہے۔ a اور b حاصل کرنے کی غرض سے، حل کرنے کیلئے سسٹم سیٹ کریں۔

$$a+b=-25 ab=144$$

چونکہ ab مثبت ہے، a اور b کی علامت یکساں ہے۔ چونکہ a+b منفی ہے، a اور b بھی منفی ہیں۔ ایسے تمام صحیح اعداد کے جوڑے درج کریں جن کا حاصل 144 ہوتا ہے۔

$$-1,-144 -2,-72 -3,-48 -4,-36 -6,-24 -8,-18 -9,-16 -12,-12$$

ہر جوڑے کی رقم کا حساب لگائیں۔

$$-1-144=-145 -2-72=-74 -3-48=-51 -4-36=-40 -6-24=-30 -8-18=-26 -9-16=-25 -12-12=-24$$

حل ایک جوڑا ہے جو میزان -25 دیتا ہے۔

$$a=-16 b=-9$$

حاصل شدہ اقدار کا استعمال کر کے فیکٹر شدہ اظہار \left(n+a\right)\left(n+b\right) دوبارہ لکھیں۔

$$\left(n-16\right)\left(n-9\right)$$

مساوات کا حل تلاش کرنے کیلئے، n-16=0 اور n-9=0 حل کریں۔

$$n=16 n=9$$

گروپنگ کے ذریعے فیکٹرنگ کا استعمال کرتے ہوئے اقدامات کریں

مساوات حل کرنے کیلئے، گروپنگ کرکے بائیں جانب فیکٹر کریں۔ پہلے، بائیں جانب کو n^{2}+an+bn+144 بطور دوبارہ لکھنا ہو گا۔ a اور b حاصل کرنے کی غرض سے، حل کرنے کیلئے سسٹم سیٹ کریں۔

$$a+b=-25 ab=1\times 144=144$$

چونکہ ab مثبت ہے، a اور b کی علامت یکساں ہے۔ چونکہ a+b منفی ہے، a اور b بھی منفی ہیں۔ ایسے تمام صحیح اعداد کے جوڑے درج کریں جن کا حاصل 144 ہوتا ہے۔

$$-1,-144 -2,-72 -3,-48 -4,-36 -6,-24 -8,-18 -9,-16 -12,-12$$

ہر جوڑے کی رقم کا حساب لگائیں۔

$$-1-144=-145 -2-72=-74 -3-48=-51 -4-36=-40 -6-24=-30 -8-18=-26 -9-16=-25 -12-12=-24$$

حل ایک جوڑا ہے جو میزان -25 دیتا ہے۔

$$a=-16 b=-9$$

n^{2}-25n+144 کو بطور \left(n^{2}-16n\right)+\left(-9n+144\right) دوبارہ تحریر کریں۔

$$\left(n^{2}-16n\right)+\left(-9n+144\right)$$

پہلے گروپ میں n اور دوسرے میں -9 اجزائے ضربی میں تقسیم کریں۔

$$n\left(n-16\right)-9\left(n-16\right)$$

عام اصطلاح n-16 کا منقسم خاصیت استعمال کرتے ہوئے اجزائے ضربی میں تقسیم کریں۔

$$\left(n-16\right)\left(n-9\right)$$

مساوات کا حل تلاش کرنے کیلئے، n-16=0 اور n-9=0 حل کریں۔

$$n=16 n=9$$

مربعی فارمولا کا استعمال کرنے کے اقدامات

اس فارم ax^{2}+bx+c=0 کی تمام مساواتیں مربعی فارمولہ: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} کو استعمال کرتے ہوئے حل کی جاسکتی ہیں۔ مربعی فارمولا دو طرح کے حل فراہم کرتا ہے۔ ایک جب ± جمع شدہ ہوتا ہے اور تب جب یہ منہا کردہ ہوتا ہے۔

$$n^{2}-25n+144=0$$

یہ مساوات معیاری وضع میں ہے: ax^{2}+bx+c=0۔ مربعی فارمولا \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} میں a کے لئے 1 کو، b کے لئے -25 کو اور c کے لئے 144 کو متبادل کریں۔

$$n=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{\left(-25\right)^{2}-4\times 144}}{2}$$

مربع -25۔

$$n=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-4\times 144}}{2}$$

-4 کو 144 مرتبہ ضرب دیں۔

$$n=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-576}}{2}$$

625 کو -576 میں شامل کریں۔

$$n=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{49}}{2}$$

49 کا جذر لیں۔

$$n=\frac{-\left(-25\right)±7}{2}$$

-25 کا مُخالف 25 ہے۔

$$n=\frac{25±7}{2}$$

جب ± جمع ہو تو اب مساوات n=\frac{25±7}{2} کو حل کریں۔ 25 کو 7 میں شامل کریں۔

$$n=\frac{32}{2}$$

32 کو 2 سے تقسیم کریں۔

$$n=16$$

جب ± منفی ہو تو اب مساوات n=\frac{25±7}{2} کو حل کریں۔ 7 کو 25 میں سے منہا کریں۔

$$n=\frac{18}{2}$$

18 کو 2 سے تقسیم کریں۔

$$n=9$$

مساوات اب حل ہو گئی ہے۔

$$n=16 n=9$$

مربع مکمل کرنے کے لیے اقدامات

اس قسم کی مربعی قواعد مربع مکمل کرنے کے بعد حل ہوسکتی ہیں۔ مربع کو مکمل کرنے کے لیئے، مساوات کو پہلے اس شکل میں ہونا ضروری ہے x^{2}+bx=c۔

$$n^{2}-25n+144=0$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 144 منہا کریں۔

$$n^{2}-25n+144-144=-144$$

144 کے خود سے منہا کرنے پر 0 ہی بچتا ہے۔

$$n^{2}-25n=-144$$

2 سے -\frac{25}{2} حاصل کرنے کے لیے، -25 کو x اصطلاح کے کو ایفیشنٹ سے تقسیم کریں۔ پھر -\frac{25}{2} کے مربع کو مساوات کی دونوں جانب جمع کریں۔ یہ مرحلہ مساوات کی بائیں ہاتھ کی جانب کو ایک مکمل مربع بناتا ہے۔

$$n^{2}-25n+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}=-144+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}$$

کسر کا نیومیریٹر اور ڈینومینیٹر دونوں پر مربع لگا کر -\frac{25}{2} کو مربع کریں۔

$$n^{2}-25n+\frac{625}{4}=-144+\frac{625}{4}$$

-144 کو \frac{625}{4} میں شامل کریں۔

$$n^{2}-25n+\frac{625}{4}=\frac{49}{4}$$

فیکٹر n^{2}-25n+\frac{625}{4}۔ عمومی طور پر جب x^{2}+bx+c ایک کامل مربع ہوگا تو اسے ہمیشہ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} کی طرح فیکٹر کیا جا سکتا ہے۔

$$\left(n-\frac{25}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

مساوات کی دونوں اطراف کا جذر لیں۔

$$\sqrt{\left(n-\frac{25}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

سادہ کریں۔

$$n-\frac{25}{2}=\frac{7}{2} n-\frac{25}{2}=-\frac{7}{2}$$

مساوات کے دونوں اطراف سے \frac{25}{2} کو شامل کریں۔

$$n=16 n=9$$