9n^2-23n+20=3n^2 حل کریں

$$9 n ^ { 2 } - 23 n + 20 = 3 n ^ { 2 }$$

n کے لئے حل کریں

$$n = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

$$n = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

گروپنگ کے ذریعے فیکٹرنگ کا استعمال کرتے ہوئے اقدامات کریں

3n^{2} کو دونوں طرف سے منہا کریں۔

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

6n^{2} حاصل کرنے کے لئے 9n^{2} اور -3n^{2} کو یکجا کریں۔

$$6n^{2}-23n+20=0$$

مساوات حل کرنے کیلئے، گروپنگ کرکے بائیں جانب فیکٹر کریں۔ پہلے، بائیں جانب کو 6n^{2}+an+bn+20 بطور دوبارہ لکھنا ہو گا۔ a اور b حاصل کرنے کی غرض سے، حل کرنے کیلئے سسٹم سیٹ کریں۔

$$a+b=-23 ab=6\times 20=120$$

چونکہ ab مثبت ہے، a اور b کی علامت یکساں ہے۔ چونکہ a+b منفی ہے، a اور b بھی منفی ہیں۔ ایسے تمام صحیح اعداد کے جوڑے درج کریں جن کا حاصل 120 ہوتا ہے۔

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

ہر جوڑے کی رقم کا حساب لگائیں۔

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

حل ایک جوڑا ہے جو میزان -23 دیتا ہے۔

$$a=-15 b=-8$$

6n^{2}-23n+20 کو بطور \left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right) دوبارہ تحریر کریں۔

$$\left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right)$$

پہلے گروپ میں 3n اور دوسرے میں -4 اجزائے ضربی میں تقسیم کریں۔

$$3n\left(2n-5\right)-4\left(2n-5\right)$$

عام اصطلاح 2n-5 کا منقسم خاصیت استعمال کرتے ہوئے اجزائے ضربی میں تقسیم کریں۔

$$\left(2n-5\right)\left(3n-4\right)$$

مساوات کا حل تلاش کرنے کیلئے، 2n-5=0 اور 3n-4=0 حل کریں۔

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

مربعی فارمولا کا استعمال کرنے کے اقدامات

3n^{2} کو دونوں طرف سے منہا کریں۔

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

6n^{2} حاصل کرنے کے لئے 9n^{2} اور -3n^{2} کو یکجا کریں۔

$$6n^{2}-23n+20=0$$

یہ مساوات معیاری وضع میں ہے: ax^{2}+bx+c=0۔ مربعی فارمولا \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} میں a کے لئے 6 کو، b کے لئے -23 کو اور c کے لئے 20 کو متبادل کریں۔

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{\left(-23\right)^{2}-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

مربع -23۔

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

-4 کو 6 مرتبہ ضرب دیں۔

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-24\times 20}}{2\times 6}$$

-24 کو 20 مرتبہ ضرب دیں۔

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-480}}{2\times 6}$$

529 کو -480 میں شامل کریں۔

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

49 کا جذر لیں۔

$$n=\frac{-\left(-23\right)±7}{2\times 6}$$

-23 کا مُخالف 23 ہے۔

$$n=\frac{23±7}{2\times 6}$$

2 کو 6 مرتبہ ضرب دیں۔

$$n=\frac{23±7}{12}$$

جب ± جمع ہو تو اب مساوات n=\frac{23±7}{12} کو حل کریں۔ 23 کو 7 میں شامل کریں۔

$$n=\frac{30}{12}$$

6 کو اخذ اور منسوخ کرتے ہوئے \frac{30}{12} کسر کو کم تر اصطلاحات تک گھٹائیں۔

$$n=\frac{5}{2}$$

جب ± منفی ہو تو اب مساوات n=\frac{23±7}{12} کو حل کریں۔ 7 کو 23 میں سے منہا کریں۔

$$n=\frac{16}{12}$$

4 کو اخذ اور منسوخ کرتے ہوئے \frac{16}{12} کسر کو کم تر اصطلاحات تک گھٹائیں۔

$$n=\frac{4}{3}$$

مساوات اب حل ہو گئی ہے۔

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

مربع مکمل کرنے کے لیے اقدامات

3n^{2} کو دونوں طرف سے منہا کریں۔

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

6n^{2} حاصل کرنے کے لئے 9n^{2} اور -3n^{2} کو یکجا کریں۔

$$6n^{2}-23n+20=0$$

20 کو دونوں طرف سے منہا کریں۔ کوئی بھی چیز صفر میں سے تفریق ہوکر اپنا نفی دیتی ہے۔

$$6n^{2}-23n=-20$$

6 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$\frac{6n^{2}-23n}{6}=-\frac{20}{6}$$

6 سے تقسیم کرنا 6 سے ضرب کو کالعدم کرتا ہے۔

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{20}{6}$$

2 کو اخذ اور منسوخ کرتے ہوئے \frac{-20}{6} کسر کو کم تر اصطلاحات تک گھٹائیں۔

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{10}{3}$$

2 سے -\frac{23}{12} حاصل کرنے کے لیے، -\frac{23}{6} کو x اصطلاح کے کو ایفیشنٹ سے تقسیم کریں۔ پھر -\frac{23}{12} کے مربع کو مساوات کی دونوں جانب جمع کریں۔ یہ مرحلہ مساوات کی بائیں ہاتھ کی جانب کو ایک مکمل مربع بناتا ہے۔

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}$$

کسر کا نیومیریٹر اور ڈینومینیٹر دونوں پر مربع لگا کر -\frac{23}{12} کو مربع کریں۔

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=-\frac{10}{3}+\frac{529}{144}$$

ایک مشترکہ ڈینومینیٹر کو ڈھونڈتے ہوئے اور نیومیریٹر کو شامل کر کے -\frac{10}{3} کو \frac{529}{144} میں شامل کریں۔ اور پھر کسر کو اگر ممکن ہو تو پست ترین اصطلاح تک گھٹائیں۔

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=\frac{49}{144}$$

عامل n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}۔ عام طور پر، جب x^{2}+bx+c ایک کامل مربع ہوتا ہے تو، یہ ہمیشہ اس طرح سے عامل ہوسکتا ہے \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}۔

$$\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

مساوات کی دونوں اطراف کا جذر لیں۔

$$\sqrt{\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

سادہ کریں۔

$$n-\frac{23}{12}=\frac{7}{12} n-\frac{23}{12}=-\frac{7}{12}$$

مساوات کے دونوں اطراف سے \frac{23}{12} کو شامل کریں۔

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$