6x^2-15x+12=0 حل کریں

$$6 x ^ { 2 } - 15 x + 12 = 0$$

x کے لئے حل کریں (complex solution)

$$x=\frac{5+\sqrt{7}i}{4}\approx 1.25+0.661437828i$$

$$x=\frac{-\sqrt{7}i+5}{4}\approx 1.25-0.661437828i$$

مربعی فارمولا کا استعمال کرنے کے اقدامات

اس فارم ax^{2}+bx+c=0 کی تمام مساواتیں مربعی فارمولہ: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} کو استعمال کرتے ہوئے حل کی جاسکتی ہیں۔ مربعی فارمولا دو طرح کے حل فراہم کرتا ہے۔ ایک جب ± جمع شدہ ہوتا ہے اور تب جب یہ منہا کردہ ہوتا ہے۔

$$6x^{2}-15x+12=0$$

یہ مساوات معیاری وضع میں ہے: ax^{2}+bx+c=0۔ مربعی فارمولا \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} میں a کے لئے 6 کو، b کے لئے -15 کو اور c کے لئے 12 کو متبادل کریں۔

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 6\times 12}}{2\times 6}$$

مربع -15۔

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 6\times 12}}{2\times 6}$$

-4 کو 6 مرتبہ ضرب دیں۔

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-24\times 12}}{2\times 6}$$

-24 کو 12 مرتبہ ضرب دیں۔

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-288}}{2\times 6}$$

225 کو -288 میں شامل کریں۔

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{-63}}{2\times 6}$$

-63 کا جذر لیں۔

$$x=\frac{-\left(-15\right)±3\sqrt{7}i}{2\times 6}$$

-15 کا مُخالف 15 ہے۔

$$x=\frac{15±3\sqrt{7}i}{2\times 6}$$

2 کو 6 مرتبہ ضرب دیں۔

$$x=\frac{15±3\sqrt{7}i}{12}$$

جب ± جمع ہو تو اب مساوات x=\frac{15±3\sqrt{7}i}{12} کو حل کریں۔ 15 کو 3i\sqrt{7} میں شامل کریں۔

$$x=\frac{15+3\sqrt{7}i}{12}$$

15+3i\sqrt{7} کو 12 سے تقسیم کریں۔

$$x=\frac{5+\sqrt{7}i}{4}$$

جب ± منفی ہو تو اب مساوات x=\frac{15±3\sqrt{7}i}{12} کو حل کریں۔ 3i\sqrt{7} کو 15 میں سے منہا کریں۔

$$x=\frac{-3\sqrt{7}i+15}{12}$$

15-3i\sqrt{7} کو 12 سے تقسیم کریں۔

$$x=\frac{-\sqrt{7}i+5}{4}$$

مساوات اب حل ہو گئی ہے۔

$$x=\frac{5+\sqrt{7}i}{4} x=\frac{-\sqrt{7}i+5}{4}$$

مربع مکمل کرنے کے لیے اقدامات

اس قسم کی مربعی قواعد مربع مکمل کرنے کے بعد حل ہوسکتی ہیں۔ مربع کو مکمل کرنے کے لیئے، مساوات کو پہلے اس شکل میں ہونا ضروری ہے x^{2}+bx=c۔

$$6x^{2}-15x+12=0$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 12 منہا کریں۔

$$6x^{2}-15x+12-12=-12$$

12 کے خود سے منہا کرنے پر 0 ہی بچتا ہے۔

$$6x^{2}-15x=-12$$

6 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$\frac{6x^{2}-15x}{6}=-\frac{12}{6}$$

6 سے تقسیم کرنا 6 سے ضرب کو کالعدم کرتا ہے۔

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{6}\right)x=-\frac{12}{6}$$

3 کو اخذ اور منسوخ کرتے ہوئے \frac{-15}{6} کسر کو کم تر اصطلاحات تک گھٹائیں۔

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=-\frac{12}{6}$$

-12 کو 6 سے تقسیم کریں۔

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=-2$$

2 سے -\frac{5}{4} حاصل کرنے کے لیے، -\frac{5}{2} کو x اصطلاح کے کو ایفیشنٹ سے تقسیم کریں۔ پھر -\frac{5}{4} کے مربع کو مساوات کی دونوں جانب جمع کریں۔ یہ مرحلہ مساوات کی بائیں ہاتھ کی جانب کو ایک مکمل مربع بناتا ہے۔

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=-2+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

کسر کا نیومیریٹر اور ڈینومینیٹر دونوں پر مربع لگا کر -\frac{5}{4} کو مربع کریں۔

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=-2+\frac{25}{16}$$

-2 کو \frac{25}{16} میں شامل کریں۔

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=-\frac{7}{16}$$

فیکٹر x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}۔ عمومی طور پر جب x^{2}+bx+c ایک کامل مربع ہوگا تو اسے ہمیشہ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} کی طرح فیکٹر کیا جا سکتا ہے۔

$$\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}=-\frac{7}{16}$$

مساوات کی دونوں اطراف کا جذر لیں۔

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7}{16}}$$

سادہ کریں۔

$$x-\frac{5}{4}=\frac{\sqrt{7}i}{4} x-\frac{5}{4}=-\frac{\sqrt{7}i}{4}$$

مساوات کے دونوں اطراف سے \frac{5}{4} کو شامل کریں۔

$$x=\frac{5+\sqrt{7}i}{4} x=\frac{-\sqrt{7}i+5}{4}$$