4n^2-7n=11 حل کریں

$$4 n ^ { 2 } - 7 n = 11$$

n کے لئے حل کریں

$$n=-1$$

$$n = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} = 2.75$$

گروپنگ کے ذریعے فیکٹرنگ کا استعمال کرتے ہوئے اقدامات کریں

11 کو دونوں طرف سے منہا کریں۔

$$4n^{2}-7n-11=0$$

مساوات حل کرنے کیلئے، گروپنگ کرکے بائیں جانب فیکٹر کریں۔ پہلے، بائیں جانب کو 4n^{2}+an+bn-11 بطور دوبارہ لکھنا ہو گا۔ a اور b حاصل کرنے کی غرض سے، حل کرنے کیلئے سسٹم سیٹ کریں۔

$$a+b=-7 ab=4\left(-11\right)=-44$$

چونکہ ab منفی ہے، a اور b کی علامت مخالف ہیں۔ چونکہ a+b منفی ہے، منفی عدد میں مثبت سے زیادہ مطلق قدر ہے۔ ایسے تمام صحیح اعداد کے جوڑے درج کریں جن کا حاصل -44 ہوتا ہے۔

$$1,-44 2,-22 4,-11$$

ہر جوڑے کی رقم کا حساب لگائیں۔

$$1-44=-43 2-22=-20 4-11=-7$$

حل ایک جوڑا ہے جو میزان -7 دیتا ہے۔

$$a=-11 b=4$$

4n^{2}-7n-11 کو بطور \left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right) دوبارہ تحریر کریں۔

$$\left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right)$$

4n^{2}-11n میں n اجزائے ضربی میں تقسیم کریں۔

$$n\left(4n-11\right)+4n-11$$

عام اصطلاح 4n-11 کا منقسم خاصیت استعمال کرتے ہوئے اجزائے ضربی میں تقسیم کریں۔

$$\left(4n-11\right)\left(n+1\right)$$

مساوات کا حل تلاش کرنے کیلئے، 4n-11=0 اور n+1=0 حل کریں۔

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

مربعی فارمولا کا استعمال کرنے کے اقدامات

اس فارم ax^{2}+bx+c=0 کی تمام مساواتیں مربعی فارمولہ: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} کو استعمال کرتے ہوئے حل کی جاسکتی ہیں۔ مربعی فارمولا دو طرح کے حل فراہم کرتا ہے۔ ایک جب ± جمع شدہ ہوتا ہے اور تب جب یہ منہا کردہ ہوتا ہے۔

$$4n^{2}-7n=11$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 11 منہا کریں۔

$$4n^{2}-7n-11=11-11$$

11 کے خود سے منہا کرنے پر 0 ہی بچتا ہے۔

$$4n^{2}-7n-11=0$$

یہ مساوات معیاری وضع میں ہے: ax^{2}+bx+c=0۔ مربعی فارمولا \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} میں a کے لئے 4 کو، b کے لئے -7 کو اور c کے لئے -11 کو متبادل کریں۔

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

مربع -7۔

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

-4 کو 4 مرتبہ ضرب دیں۔

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

-16 کو -11 مرتبہ ضرب دیں۔

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+176}}{2\times 4}$$

49 کو 176 میں شامل کریں۔

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{225}}{2\times 4}$$

225 کا جذر لیں۔

$$n=\frac{-\left(-7\right)±15}{2\times 4}$$

-7 کا مُخالف 7 ہے۔

$$n=\frac{7±15}{2\times 4}$$

2 کو 4 مرتبہ ضرب دیں۔

$$n=\frac{7±15}{8}$$

جب ± جمع ہو تو اب مساوات n=\frac{7±15}{8} کو حل کریں۔ 7 کو 15 میں شامل کریں۔

$$n=\frac{22}{8}$$

2 کو اخذ اور منسوخ کرتے ہوئے \frac{22}{8} کسر کو کم تر اصطلاحات تک گھٹائیں۔

$$n=\frac{11}{4}$$

جب ± منفی ہو تو اب مساوات n=\frac{7±15}{8} کو حل کریں۔ 15 کو 7 میں سے منہا کریں۔

$$n=-\frac{8}{8}$$

-8 کو 8 سے تقسیم کریں۔

$$n=-1$$

مساوات اب حل ہو گئی ہے۔

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

مربع مکمل کرنے کے لیے اقدامات

اس قسم کی مربعی قواعد مربع مکمل کرنے کے بعد حل ہوسکتی ہیں۔ مربع کو مکمل کرنے کے لیئے، مساوات کو پہلے اس شکل میں ہونا ضروری ہے x^{2}+bx=c۔

$$4n^{2}-7n=11$$

4 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$\frac{4n^{2}-7n}{4}=\frac{11}{4}$$

4 سے تقسیم کرنا 4 سے ضرب کو کالعدم کرتا ہے۔

$$n^{2}-\frac{7}{4}n=\frac{11}{4}$$

2 سے -\frac{7}{8} حاصل کرنے کے لیے، -\frac{7}{4} کو x اصطلاح کے کو ایفیشنٹ سے تقسیم کریں۔ پھر -\frac{7}{8} کے مربع کو مساوات کی دونوں جانب جمع کریں۔ یہ مرحلہ مساوات کی بائیں ہاتھ کی جانب کو ایک مکمل مربع بناتا ہے۔

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{11}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

کسر کا نیومیریٹر اور ڈینومینیٹر دونوں پر مربع لگا کر -\frac{7}{8} کو مربع کریں۔

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{11}{4}+\frac{49}{64}$$

ایک مشترکہ ڈینومینیٹر کو ڈھونڈتے ہوئے اور نیومیریٹر کو شامل کر کے \frac{11}{4} کو \frac{49}{64} میں شامل کریں۔ اور پھر کسر کو اگر ممکن ہو تو پست ترین اصطلاح تک گھٹائیں۔

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{225}{64}$$

فیکٹر n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}۔ عمومی طور پر جب x^{2}+bx+c ایک کامل مربع ہوگا تو اسے ہمیشہ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} کی طرح فیکٹر کیا جا سکتا ہے۔

$$\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{225}{64}$$

مساوات کی دونوں اطراف کا جذر لیں۔

$$\sqrt{\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{64}}$$

سادہ کریں۔

$$n-\frac{7}{8}=\frac{15}{8} n-\frac{7}{8}=-\frac{15}{8}$$

مساوات کے دونوں اطراف سے \frac{7}{8} کو شامل کریں۔

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$