3x-(k+1)y=20text{and}(k+2)x-10y=40 حل کریں

$$3 x - ( k + 1 ) y = 20 \text { and } ( k + 2 ) x - 10 y = 40$$

x، y کے لئے حل کریں

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{40}{k+7}\text{, }y=-\frac{20}{k+7}\text{, }&k\neq -7\text{ and }k\neq 4\\x=\frac{5\left(y+4\right)}{3}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&k=4\end{matrix}\right.$$

متبادل استعمال کرنے کے اقدامات

پہلی مساوات پر غور کریں۔ k+1 کو ایک سے y ضرب دینے کے لیئے منقسم خاصیت کا استعمال کریں۔

$$3x-\left(ky+y\right)=20$$

ky+y کا متضاد تلاش کرنے کے لئے، ہر اصطلاح کا متضاد تلاش کریں۔

$$3x-ky-y=20$$

x,y پر مشتمل تمام اصطلاحات کو یکجا کریں۔

$$3x+\left(-k-1\right)y=20$$

دوسری مساوات پر غور کریں۔ k+2 کو ایک سے x ضرب دینے کے لیئے منقسم خاصیت کا استعمال کریں۔

$$kx+2x-10y=40$$

x,y پر مشتمل تمام اصطلاحات کو یکجا کریں۔

$$\left(k+2\right)x-10y=40$$

متبادل کا استعمال کرتے ہوئے مساواتوں کے جوڑے کو حل کرنے کے لیئے، پہلے کسی ایک متغیر کے لیئے مساواتوں میں سے کسی ایک کو حل کریں۔ پھر اس متغیر کے لیئے نتائج کو کسی دوسری مساوات میں متبادل کریں۔

$$3x+\left(-k-1\right)y=20,\left(k+2\right)x-10y=40$$

مساوی نشان کی بائیں ہاتھ کی جانب x کو اکیلا کر کے ان مساوات میں سے ایک کا انتخاب کریں اور اسے x کے لئے حل کریں۔

$$3x+\left(-k-1\right)y=20$$

مساوات کے دونوں اطراف سے \left(k+1\right)y کو شامل کریں۔

$$3x=\left(k+1\right)y+20$$

3 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$x=\frac{1}{3}\left(\left(k+1\right)y+20\right)$$

\frac{1}{3} کو yk+y+20 مرتبہ ضرب دیں۔

$$x=\frac{k+1}{3}y+\frac{20}{3}$$

دیگر مساوات \left(k+2\right)x-10y=40، میں x کے لئے\frac{yk+y+20}{3} کو متبادل کریں۔

$$\left(k+2\right)\left(\frac{k+1}{3}y+\frac{20}{3}\right)-10y=40$$

k+2 کو \frac{yk+y+20}{3} مرتبہ ضرب دیں۔

$$\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{3}y+\frac{20k+40}{3}-10y=40$$

\frac{\left(k+2\right)\left(k+1\right)y}{3} کو -10y میں شامل کریں۔

$$\frac{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}{3}y+\frac{20k+40}{3}=40$$

مساوات کے دونوں اطراف سے \frac{40+20k}{3} منہا کریں۔

$$\frac{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}{3}y=\frac{80-20k}{3}$$

\frac{\left(-4+k\right)\left(7+k\right)}{3} سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$y=-\frac{20}{k+7}$$

x=\frac{k+1}{3}y+\frac{20}{3} میں y کے لئے -\frac{20}{7+k} کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ x کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$x=\frac{k+1}{3}\left(-\frac{20}{k+7}\right)+\frac{20}{3}$$

\frac{k+1}{3} کو -\frac{20}{7+k} مرتبہ ضرب دیں۔

$$x=-\frac{20\left(k+1\right)}{3\left(k+7\right)}+\frac{20}{3}$$

\frac{20}{3} کو -\frac{20\left(k+1\right)}{3\left(7+k\right)} میں شامل کریں۔

$$x=\frac{40}{k+7}$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$x=\frac{40}{k+7},y=-\frac{20}{k+7}$$

میٹرکس کا استعمال کرنے کے اقدامات

پہلی مساوات پر غور کریں۔ k+1 کو ایک سے y ضرب دینے کے لیئے منقسم خاصیت کا استعمال کریں۔

$$3x-\left(ky+y\right)=20$$

ky+y کا متضاد تلاش کرنے کے لئے، ہر اصطلاح کا متضاد تلاش کریں۔

$$3x-ky-y=20$$

x,y پر مشتمل تمام اصطلاحات کو یکجا کریں۔

$$3x+\left(-k-1\right)y=20$$

دوسری مساوات پر غور کریں۔ k+2 کو ایک سے x ضرب دینے کے لیئے منقسم خاصیت کا استعمال کریں۔

$$kx+2x-10y=40$$

x,y پر مشتمل تمام اصطلاحات کو یکجا کریں۔

$$\left(k+2\right)x-10y=40$$

مساواتوں کو معیاری وضع میں ڈالیں اور پھر مساوات کے نظام کو حل کرنے کے لیے میٹرکس استعمال کریں۔

$$3x+\left(-k-1\right)y=20,\left(k+2\right)x-10y=40$$

مساواتوں کو میٹرکس صورت میں لکھیں۔

$$\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right) کے معکوس میٹرکس سے بائیں جانب مساوات سے ضرب دیں۔

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

ایک میٹرکس کا حاصل ضرب اور اس کا معکوس شناختی میٹرکس ہے۔

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

مساوی نشان کے بائیں ہاتھ کی جانب میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

2\times 2 میٹرکس \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) کے لئے، معکوس میٹرکس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ہے، لہذا میٹرکس مساوات کو میٹرکس ضرب مسئلہ کے طور پر دوبارہ لکھا جا سکتا ہے۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{3\left(-10\right)-\left(-k-1\right)\left(k+2\right)}&-\frac{-k-1}{3\left(-10\right)-\left(-k-1\right)\left(k+2\right)}\\-\frac{k+2}{3\left(-10\right)-\left(-k-1\right)\left(k+2\right)}&\frac{3}{3\left(-10\right)-\left(-k-1\right)\left(k+2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}&\frac{k+1}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\\-\frac{k+2}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}&\frac{3}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{10}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\right)\times 20+\frac{k+1}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\times 40\\\left(-\frac{k+2}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\right)\times 20+\frac{3}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\times 40\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{40}{k+7}\\-\frac{20}{k+7}\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کے x اور y عناصر کو اخذ کریں۔

$$x=\frac{40}{k+7},y=-\frac{20}{k+7}$$

خاتمے کا استعمال کرنے کے اقدامات

پہلی مساوات پر غور کریں۔ k+1 کو ایک سے y ضرب دینے کے لیئے منقسم خاصیت کا استعمال کریں۔

$$3x-\left(ky+y\right)=20$$

ky+y کا متضاد تلاش کرنے کے لئے، ہر اصطلاح کا متضاد تلاش کریں۔

$$3x-ky-y=20$$

x,y پر مشتمل تمام اصطلاحات کو یکجا کریں۔

$$3x+\left(-k-1\right)y=20$$

دوسری مساوات پر غور کریں۔ k+2 کو ایک سے x ضرب دینے کے لیئے منقسم خاصیت کا استعمال کریں۔

$$kx+2x-10y=40$$

x,y پر مشتمل تمام اصطلاحات کو یکجا کریں۔

$$\left(k+2\right)x-10y=40$$

خارجی طریقے سے حل کرنے کے لیئے، متغیرات میں سے کسی ایک کا عددی سر دونوں مساوات میں لازمی ایک جیسا ہونا چاہیئے تا کہ ایک متغیر دوسرے متغیر سے تفریق ہونے کی صورت میں متغیرات منسوخ ہوجائیں۔

$$3x+\left(-k-1\right)y=20,\left(k+2\right)x-10y=40$$

3x اور \left(k+2\right)x کو برابر بنانے کے لئے، تمام اصطلاحات کو پہلے قاعدے پر k+2 سے اور تمام اصطلاحات کو دوسرے کی ہر ایک جانب 3 سے ضرب دیں۔

$$\left(k+2\right)\times 3x+\left(k+2\right)\left(-k-1\right)y=\left(k+2\right)\times 20,3\left(k+2\right)x+3\left(-10\right)y=3\times 40$$

سادہ کریں۔

$$\left(3k+6\right)x+\left(-\left(k+1\right)\left(k+2\right)\right)y=20k+40,\left(3k+6\right)x-30y=120$$

مساوی نشان کی ہر جانب ایک جیسے اصطلاحات کو تفریق کر کے \left(3k+6\right)x-30y=120 کو \left(3k+6\right)x+\left(-\left(k+1\right)\left(k+2\right)\right)y=20k+40 سے منہا کریں۔

$$\left(3k+6\right)x+\left(-3k-6\right)x+\left(-\left(k+1\right)\left(k+2\right)\right)y+30y=20k+40-120$$

3\left(2+k\right)x کو -6x-3xk میں شامل کریں۔ اصطلاحات 3\left(2+k\right)x اور -6x-3xk قلم زد ہو گئے ہیں، جس کے نتیجے میں مساوات میں صرف ایک متغیر باقی ہے جے حل کیا جا سکتا ہے۔

$$\left(-\left(k+1\right)\left(k+2\right)\right)y+30y=20k+40-120$$

-\left(k+2\right)\left(k+1\right)y کو 30y میں شامل کریں۔

$$\left(4-k\right)\left(k+7\right)y=20k+40-120$$

20k+40 کو -120 میں شامل کریں۔

$$\left(4-k\right)\left(k+7\right)y=20k-80$$

\left(4-k\right)\left(7+k\right) سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$y=-\frac{20}{k+7}$$

\left(k+2\right)x-10y=40 میں y کے لئے -\frac{20}{7+k} کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ x کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$\left(k+2\right)x-10\left(-\frac{20}{k+7}\right)=40$$

-10 کو -\frac{20}{7+k} مرتبہ ضرب دیں۔

$$\left(k+2\right)x+\frac{200}{k+7}=40$$

مساوات کے دونوں اطراف سے \frac{200}{7+k} منہا کریں۔

$$\left(k+2\right)x=\frac{40\left(k+2\right)}{k+7}$$

k+2 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$x=\frac{40}{k+7}$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$x=\frac{40}{k+7},y=-\frac{20}{k+7}$$