3n^2-4n-15=0 حل کریں

$$3 n ^ { 2 } - 4 n - 15 = 0$$

n کے لئے حل کریں

$$n = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

$$n=3$$

گروپنگ کے ذریعے فیکٹرنگ کا استعمال کرتے ہوئے اقدامات کریں

مساوات حل کرنے کیلئے، گروپنگ کرکے بائیں جانب فیکٹر کریں۔ پہلے، بائیں جانب کو 3n^{2}+an+bn-15 بطور دوبارہ لکھنا ہو گا۔ a اور b حاصل کرنے کی غرض سے، حل کرنے کیلئے سسٹم سیٹ کریں۔

$$a+b=-4 ab=3\left(-15\right)=-45$$

چونکہ ab منفی ہے، a اور b کی علامت مخالف ہیں۔ چونکہ a+b منفی ہے، منفی عدد میں مثبت سے زیادہ مطلق قدر ہے۔ ایسے تمام صحیح اعداد کے جوڑے درج کریں جن کا حاصل -45 ہوتا ہے۔

$$1,-45 3,-15 5,-9$$

ہر جوڑے کی رقم کا حساب لگائیں۔

$$1-45=-44 3-15=-12 5-9=-4$$

حل ایک جوڑا ہے جو میزان -4 دیتا ہے۔

$$a=-9 b=5$$

3n^{2}-4n-15 کو بطور \left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right) دوبارہ تحریر کریں۔

$$\left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right)$$

پہلے گروپ میں 3n اور دوسرے میں 5 اجزائے ضربی میں تقسیم کریں۔

$$3n\left(n-3\right)+5\left(n-3\right)$$

عام اصطلاح n-3 کا منقسم خاصیت استعمال کرتے ہوئے اجزائے ضربی میں تقسیم کریں۔

$$\left(n-3\right)\left(3n+5\right)$$

مساوات کا حل تلاش کرنے کیلئے، n-3=0 اور 3n+5=0 حل کریں۔

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

مربعی فارمولا کا استعمال کرنے کے اقدامات

اس فارم ax^{2}+bx+c=0 کی تمام مساواتیں مربعی فارمولہ: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} کو استعمال کرتے ہوئے حل کی جاسکتی ہیں۔ مربعی فارمولا دو طرح کے حل فراہم کرتا ہے۔ ایک جب ± جمع شدہ ہوتا ہے اور تب جب یہ منہا کردہ ہوتا ہے۔

$$3n^{2}-4n-15=0$$

یہ مساوات معیاری وضع میں ہے: ax^{2}+bx+c=0۔ مربعی فارمولا \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} میں a کے لئے 3 کو، b کے لئے -4 کو اور c کے لئے -15 کو متبادل کریں۔

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

مربع -4۔

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

-4 کو 3 مرتبہ ضرب دیں۔

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-12\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

-12 کو -15 مرتبہ ضرب دیں۔

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+180}}{2\times 3}$$

16 کو 180 میں شامل کریں۔

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

196 کا جذر لیں۔

$$n=\frac{-\left(-4\right)±14}{2\times 3}$$

-4 کا مُخالف 4 ہے۔

$$n=\frac{4±14}{2\times 3}$$

2 کو 3 مرتبہ ضرب دیں۔

$$n=\frac{4±14}{6}$$

جب ± جمع ہو تو اب مساوات n=\frac{4±14}{6} کو حل کریں۔ 4 کو 14 میں شامل کریں۔

$$n=\frac{18}{6}$$

18 کو 6 سے تقسیم کریں۔

$$n=3$$

جب ± منفی ہو تو اب مساوات n=\frac{4±14}{6} کو حل کریں۔ 14 کو 4 میں سے منہا کریں۔

$$n=-\frac{10}{6}$$

2 کو اخذ اور منسوخ کرتے ہوئے \frac{-10}{6} کسر کو کم تر اصطلاحات تک گھٹائیں۔

$$n=-\frac{5}{3}$$

مساوات اب حل ہو گئی ہے۔

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

مربع مکمل کرنے کے لیے اقدامات

اس قسم کی مربعی قواعد مربع مکمل کرنے کے بعد حل ہوسکتی ہیں۔ مربع کو مکمل کرنے کے لیئے، مساوات کو پہلے اس شکل میں ہونا ضروری ہے x^{2}+bx=c۔

$$3n^{2}-4n-15=0$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 15 کو شامل کریں۔

$$3n^{2}-4n-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

-15 کے خود سے منہا کرنے پر 0 ہی بچتا ہے۔

$$3n^{2}-4n=-\left(-15\right)$$

-15 کو 0 میں سے منہا کریں۔

$$3n^{2}-4n=15$$

3 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$\frac{3n^{2}-4n}{3}=\frac{15}{3}$$

3 سے تقسیم کرنا 3 سے ضرب کو کالعدم کرتا ہے۔

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=\frac{15}{3}$$

15 کو 3 سے تقسیم کریں۔

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=5$$

2 سے -\frac{2}{3} حاصل کرنے کے لیے، -\frac{4}{3} کو x اصطلاح کے کو ایفیشنٹ سے تقسیم کریں۔ پھر -\frac{2}{3} کے مربع کو مساوات کی دونوں جانب جمع کریں۔ یہ مرحلہ مساوات کی بائیں ہاتھ کی جانب کو ایک مکمل مربع بناتا ہے۔

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=5+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

کسر کا نیومیریٹر اور ڈینومینیٹر دونوں پر مربع لگا کر -\frac{2}{3} کو مربع کریں۔

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=5+\frac{4}{9}$$

5 کو \frac{4}{9} میں شامل کریں۔

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=\frac{49}{9}$$

فیکٹر n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}۔ عمومی طور پر جب x^{2}+bx+c ایک کامل مربع ہوگا تو اسے ہمیشہ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} کی طرح فیکٹر کیا جا سکتا ہے۔

$$\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

مساوات کی دونوں اطراف کا جذر لیں۔

$$\sqrt{\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

سادہ کریں۔

$$n-\frac{2}{3}=\frac{7}{3} n-\frac{2}{3}=-\frac{7}{3}$$

مساوات کے دونوں اطراف سے \frac{2}{3} کو شامل کریں۔

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$