2x^2+x+3=0 حل کریں

$$2 { x }^{ 2 } +x+3=0$$

x کے لئے حل کریں (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{23}i}{4}\approx -0.25+1.198957881i$$

$$x=\frac{-\sqrt{23}i-1}{4}\approx -0.25-1.198957881i$$

مربعی فارمولا کا استعمال کرنے کے اقدامات

اس فارم ax^{2}+bx+c=0 کی تمام مساواتیں مربعی فارمولہ: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} کو استعمال کرتے ہوئے حل کی جاسکتی ہیں۔ مربعی فارمولا دو طرح کے حل فراہم کرتا ہے۔ ایک جب ± جمع شدہ ہوتا ہے اور تب جب یہ منہا کردہ ہوتا ہے۔

$$2x^{2}+x+3=0$$

یہ مساوات معیاری وضع میں ہے: ax^{2}+bx+c=0۔ مربعی فارمولا \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} میں a کے لئے 2 کو، b کے لئے 1 کو اور c کے لئے 3 کو متبادل کریں۔

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\times 3}}{2\times 2}$$

مربع 1۔

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 2\times 3}}{2\times 2}$$

-4 کو 2 مرتبہ ضرب دیں۔

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-8\times 3}}{2\times 2}$$

-8 کو 3 مرتبہ ضرب دیں۔

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-24}}{2\times 2}$$

1 کو -24 میں شامل کریں۔

$$x=\frac{-1±\sqrt{-23}}{2\times 2}$$

-23 کا جذر لیں۔

$$x=\frac{-1±\sqrt{23}i}{2\times 2}$$

2 کو 2 مرتبہ ضرب دیں۔

$$x=\frac{-1±\sqrt{23}i}{4}$$

جب ± جمع ہو تو اب مساوات x=\frac{-1±\sqrt{23}i}{4} کو حل کریں۔ -1 کو i\sqrt{23} میں شامل کریں۔

$$x=\frac{-1+\sqrt{23}i}{4}$$

جب ± منفی ہو تو اب مساوات x=\frac{-1±\sqrt{23}i}{4} کو حل کریں۔ i\sqrt{23} کو -1 میں سے منہا کریں۔

$$x=\frac{-\sqrt{23}i-1}{4}$$

مساوات اب حل ہو گئی ہے۔

$$x=\frac{-1+\sqrt{23}i}{4} x=\frac{-\sqrt{23}i-1}{4}$$

مربع مکمل کرنے کے لیے اقدامات

اس قسم کی مربعی قواعد مربع مکمل کرنے کے بعد حل ہوسکتی ہیں۔ مربع کو مکمل کرنے کے لیئے، مساوات کو پہلے اس شکل میں ہونا ضروری ہے x^{2}+bx=c۔

$$2x^{2}+x+3=0$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 3 منہا کریں۔

$$2x^{2}+x+3-3=-3$$

3 کے خود سے منہا کرنے پر 0 ہی بچتا ہے۔

$$2x^{2}+x=-3$$

2 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$\frac{2x^{2}+x}{2}=-\frac{3}{2}$$

2 سے تقسیم کرنا 2 سے ضرب کو کالعدم کرتا ہے۔

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=-\frac{3}{2}$$

2 سے \frac{1}{4} حاصل کرنے کے لیے، \frac{1}{2} کو x اصطلاح کے کو ایفیشنٹ سے تقسیم کریں۔ پھر \frac{1}{4} کے مربع کو مساوات کی دونوں جانب جمع کریں۔ یہ مرحلہ مساوات کی بائیں ہاتھ کی جانب کو ایک مکمل مربع بناتا ہے۔

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{3}{2}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

کسر کا نیومیریٹر اور ڈینومینیٹر دونوں پر مربع لگا کر \frac{1}{4} کو مربع کریں۔

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{3}{2}+\frac{1}{16}$$

ایک مشترکہ ڈینومینیٹر کو ڈھونڈتے ہوئے اور نیومیریٹر کو شامل کر کے -\frac{3}{2} کو \frac{1}{16} میں شامل کریں۔ اور پھر کسر کو اگر ممکن ہو تو پست ترین اصطلاح تک گھٹائیں۔

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{23}{16}$$

فیکٹر x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}۔ عمومی طور پر جب x^{2}+bx+c ایک کامل مربع ہوگا تو اسے ہمیشہ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} کی طرح فیکٹر کیا جا سکتا ہے۔

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{23}{16}$$

مساوات کی دونوں اطراف کا جذر لیں۔

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{23}{16}}$$

سادہ کریں۔

$$x+\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{23}i}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{23}i}{4}$$

مساوات کے دونوں اطراف سے \frac{1}{4} منہا کریں۔

$$x=\frac{-1+\sqrt{23}i}{4} x=\frac{-\sqrt{23}i-1}{4}$$