13n^2-41n-120=0 حل کریں

$$13 n ^ { 2 } - 41 n - 120 = 0$$

n کے لئے حل کریں

$$n = -\frac{24}{13} = -1\frac{11}{13} \approx -1.846153846$$

$$n=5$$

گروپنگ کے ذریعے فیکٹرنگ کا استعمال کرتے ہوئے اقدامات کریں

مساوات حل کرنے کیلئے، گروپنگ کرکے بائیں جانب فیکٹر کریں۔ پہلے، بائیں جانب کو 13n^{2}+an+bn-120 بطور دوبارہ لکھنا ہو گا۔ a اور b حاصل کرنے کی غرض سے، حل کرنے کیلئے سسٹم سیٹ کریں۔

$$a+b=-41 ab=13\left(-120\right)=-1560$$

چونکہ ab منفی ہے، a اور b کی علامت مخالف ہیں۔ چونکہ a+b منفی ہے، منفی عدد میں مثبت سے زیادہ مطلق قدر ہے۔ ایسے تمام صحیح اعداد کے جوڑے درج کریں جن کا حاصل -1560 ہوتا ہے۔

$$1,-1560 2,-780 3,-520 4,-390 5,-312 6,-260 8,-195 10,-156 12,-130 13,-120 15,-104 20,-78 24,-65 26,-60 30,-52 39,-40$$

ہر جوڑے کی رقم کا حساب لگائیں۔

$$1-1560=-1559 2-780=-778 3-520=-517 4-390=-386 5-312=-307 6-260=-254 8-195=-187 10-156=-146 12-130=-118 13-120=-107 15-104=-89 20-78=-58 24-65=-41 26-60=-34 30-52=-22 39-40=-1$$

حل ایک جوڑا ہے جو میزان -41 دیتا ہے۔

$$a=-65 b=24$$

13n^{2}-41n-120 کو بطور \left(13n^{2}-65n\right)+\left(24n-120\right) دوبارہ تحریر کریں۔

$$\left(13n^{2}-65n\right)+\left(24n-120\right)$$

پہلے گروپ میں 13n اور دوسرے میں 24 اجزائے ضربی میں تقسیم کریں۔

$$13n\left(n-5\right)+24\left(n-5\right)$$

عام اصطلاح n-5 کا منقسم خاصیت استعمال کرتے ہوئے اجزائے ضربی میں تقسیم کریں۔

$$\left(n-5\right)\left(13n+24\right)$$

مساوات کا حل تلاش کرنے کیلئے، n-5=0 اور 13n+24=0 حل کریں۔

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$

مربعی فارمولا کا استعمال کرنے کے اقدامات

اس فارم ax^{2}+bx+c=0 کی تمام مساواتیں مربعی فارمولہ: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} کو استعمال کرتے ہوئے حل کی جاسکتی ہیں۔ مربعی فارمولا دو طرح کے حل فراہم کرتا ہے۔ ایک جب ± جمع شدہ ہوتا ہے اور تب جب یہ منہا کردہ ہوتا ہے۔

$$13n^{2}-41n-120=0$$

یہ مساوات معیاری وضع میں ہے: ax^{2}+bx+c=0۔ مربعی فارمولا \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} میں a کے لئے 13 کو، b کے لئے -41 کو اور c کے لئے -120 کو متبادل کریں۔

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{\left(-41\right)^{2}-4\times 13\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

مربع -41۔

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-4\times 13\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

-4 کو 13 مرتبہ ضرب دیں۔

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-52\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

-52 کو -120 مرتبہ ضرب دیں۔

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681+6240}}{2\times 13}$$

1681 کو 6240 میں شامل کریں۔

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{7921}}{2\times 13}$$

7921 کا جذر لیں۔

$$n=\frac{-\left(-41\right)±89}{2\times 13}$$

-41 کا مُخالف 41 ہے۔

$$n=\frac{41±89}{2\times 13}$$

2 کو 13 مرتبہ ضرب دیں۔

$$n=\frac{41±89}{26}$$

جب ± جمع ہو تو اب مساوات n=\frac{41±89}{26} کو حل کریں۔ 41 کو 89 میں شامل کریں۔

$$n=\frac{130}{26}$$

130 کو 26 سے تقسیم کریں۔

$$n=5$$

جب ± منفی ہو تو اب مساوات n=\frac{41±89}{26} کو حل کریں۔ 89 کو 41 میں سے منہا کریں۔

$$n=-\frac{48}{26}$$

2 کو اخذ اور منسوخ کرتے ہوئے \frac{-48}{26} کسر کو کم تر اصطلاحات تک گھٹائیں۔

$$n=-\frac{24}{13}$$

مساوات اب حل ہو گئی ہے۔

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$

مربع مکمل کرنے کے لیے اقدامات

اس قسم کی مربعی قواعد مربع مکمل کرنے کے بعد حل ہوسکتی ہیں۔ مربع کو مکمل کرنے کے لیئے، مساوات کو پہلے اس شکل میں ہونا ضروری ہے x^{2}+bx=c۔

$$13n^{2}-41n-120=0$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 120 کو شامل کریں۔

$$13n^{2}-41n-120-\left(-120\right)=-\left(-120\right)$$

-120 کے خود سے منہا کرنے پر 0 ہی بچتا ہے۔

$$13n^{2}-41n=-\left(-120\right)$$

-120 کو 0 میں سے منہا کریں۔

$$13n^{2}-41n=120$$

13 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$\frac{13n^{2}-41n}{13}=\frac{120}{13}$$

13 سے تقسیم کرنا 13 سے ضرب کو کالعدم کرتا ہے۔

$$n^{2}-\frac{41}{13}n=\frac{120}{13}$$

2 سے -\frac{41}{26} حاصل کرنے کے لیے، -\frac{41}{13} کو x اصطلاح کے کو ایفیشنٹ سے تقسیم کریں۔ پھر -\frac{41}{26} کے مربع کو مساوات کی دونوں جانب جمع کریں۔ یہ مرحلہ مساوات کی بائیں ہاتھ کی جانب کو ایک مکمل مربع بناتا ہے۔

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\left(-\frac{41}{26}\right)^{2}=\frac{120}{13}+\left(-\frac{41}{26}\right)^{2}$$

کسر کا نیومیریٹر اور ڈینومینیٹر دونوں پر مربع لگا کر -\frac{41}{26} کو مربع کریں۔

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676}=\frac{120}{13}+\frac{1681}{676}$$

ایک مشترکہ ڈینومینیٹر کو ڈھونڈتے ہوئے اور نیومیریٹر کو شامل کر کے \frac{120}{13} کو \frac{1681}{676} میں شامل کریں۔ اور پھر کسر کو اگر ممکن ہو تو پست ترین اصطلاح تک گھٹائیں۔

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676}=\frac{7921}{676}$$

فیکٹر n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676}۔ عمومی طور پر جب x^{2}+bx+c ایک کامل مربع ہوگا تو اسے ہمیشہ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} کی طرح فیکٹر کیا جا سکتا ہے۔

$$\left(n-\frac{41}{26}\right)^{2}=\frac{7921}{676}$$

مساوات کی دونوں اطراف کا جذر لیں۔

$$\sqrt{\left(n-\frac{41}{26}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7921}{676}}$$

سادہ کریں۔

$$n-\frac{41}{26}=\frac{89}{26} n-\frac{41}{26}=-\frac{89}{26}$$

مساوات کے دونوں اطراف سے \frac{41}{26} کو شامل کریں۔

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$