{l}{x+1/y+1=1/3}{x-1/y-1=1/4} حل کریں

$$\left. \begin{array}{l}{ \frac { x + 1 } { y + 1 } = \frac { 1 } { 3 } }\\{ \frac { x - 1 } { y - 1 } = \frac { 1 } { 4 } }\end{array} \right.$$

x، y کے لئے حل کریں

$$x=5$$

$$y=17$$

متبادل استعمال کرنے کے اقدامات

پہلی مساوات پر غور کریں۔ جبکہ زیرو کے ساتھ تقسیم واضح نہیں کی گئی ہے تو متغیرہ y -1 کے مساوی نہیں ہو سکتا۔ مساوات کی دونوں اطراف کو 3\left(y+1\right) سے ضرب دیں، y+1,3 کا سب کم سے کم مشترک حاصل ضرب۔

$$3\left(x+1\right)=y+1$$

3 کو ایک سے x+1 ضرب دینے کے لیئے منقسم خاصیت کا استعمال کریں۔

$$3x+3=y+1$$

y کو دونوں طرف سے منہا کریں۔

$$3x+3-y=1$$

3 کو دونوں طرف سے منہا کریں۔

$$3x-y=1-3$$

-2 حاصل کرنے کے لئے 1 کو 3 سے تفریق کریں۔

$$3x-y=-2$$

دوسری مساوات پر غور کریں۔ جبکہ زیرو کے ساتھ تقسیم واضح نہیں کی گئی ہے تو متغیرہ y 1 کے مساوی نہیں ہو سکتا۔ مساوات کی دونوں اطراف کو 4\left(y-1\right) سے ضرب دیں، y-1,4 کا سب کم سے کم مشترک حاصل ضرب۔

$$4\left(x-1\right)=y-1$$

4 کو ایک سے x-1 ضرب دینے کے لیئے منقسم خاصیت کا استعمال کریں۔

$$4x-4=y-1$$

y کو دونوں طرف سے منہا کریں۔

$$4x-4-y=-1$$

دونوں اطراف میں 4 شامل کریں۔

$$4x-y=-1+4$$

3 حاصل کرنے کے لئے -1 اور 4 شامل کریں۔

$$4x-y=3$$

متبادل کا استعمال کرتے ہوئے مساواتوں کے جوڑے کو حل کرنے کے لیئے، پہلے کسی ایک متغیر کے لیئے مساواتوں میں سے کسی ایک کو حل کریں۔ پھر اس متغیر کے لیئے نتائج کو کسی دوسری مساوات میں متبادل کریں۔

$$3x-y=-2,4x-y=3$$

مساوی نشان کی بائیں ہاتھ کی جانب x کو اکیلا کر کے ان مساوات میں سے ایک کا انتخاب کریں اور اسے x کے لئے حل کریں۔

$$3x-y=-2$$

مساوات کے دونوں اطراف سے y کو شامل کریں۔

$$3x=y-2$$

3 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$x=\frac{1}{3}\left(y-2\right)$$

\frac{1}{3} کو y-2 مرتبہ ضرب دیں۔

$$x=\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}$$

دیگر مساوات 4x-y=3، میں x کے لئے\frac{-2+y}{3} کو متبادل کریں۔

$$4\left(\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}\right)-y=3$$

4 کو \frac{-2+y}{3} مرتبہ ضرب دیں۔

$$\frac{4}{3}y-\frac{8}{3}-y=3$$

\frac{4y}{3} کو -y میں شامل کریں۔

$$\frac{1}{3}y-\frac{8}{3}=3$$

مساوات کے دونوں اطراف سے \frac{8}{3} کو شامل کریں۔

$$\frac{1}{3}y=\frac{17}{3}$$

3 سے دونوں اطراف کو ضرب دیں۔

$$y=17$$

x=\frac{1}{3}y-\frac{2}{3} میں y کے لئے 17 کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ x کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$x=\frac{1}{3}\times 17-\frac{2}{3}$$

\frac{1}{3} کو 17 مرتبہ ضرب دیں۔

$$x=\frac{17-2}{3}$$

ایک مشترکہ ڈینومینیٹر کو ڈھونڈتے ہوئے اور نیومیریٹر کو شامل کر کے -\frac{2}{3} کو \frac{17}{3} میں شامل کریں۔ اور پھر کسر کو اگر ممکن ہو تو پست ترین اصطلاح تک گھٹائیں۔

$$x=5$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$x=5,y=17$$

میٹرکس کا استعمال کرنے کے اقدامات

پہلی مساوات پر غور کریں۔ جبکہ زیرو کے ساتھ تقسیم واضح نہیں کی گئی ہے تو متغیرہ y -1 کے مساوی نہیں ہو سکتا۔ مساوات کی دونوں اطراف کو 3\left(y+1\right) سے ضرب دیں، y+1,3 کا سب کم سے کم مشترک حاصل ضرب۔

$$3\left(x+1\right)=y+1$$

3 کو ایک سے x+1 ضرب دینے کے لیئے منقسم خاصیت کا استعمال کریں۔

$$3x+3=y+1$$

y کو دونوں طرف سے منہا کریں۔

$$3x+3-y=1$$

3 کو دونوں طرف سے منہا کریں۔

$$3x-y=1-3$$

-2 حاصل کرنے کے لئے 1 کو 3 سے تفریق کریں۔

$$3x-y=-2$$

دوسری مساوات پر غور کریں۔ جبکہ زیرو کے ساتھ تقسیم واضح نہیں کی گئی ہے تو متغیرہ y 1 کے مساوی نہیں ہو سکتا۔ مساوات کی دونوں اطراف کو 4\left(y-1\right) سے ضرب دیں، y-1,4 کا سب کم سے کم مشترک حاصل ضرب۔

$$4\left(x-1\right)=y-1$$

4 کو ایک سے x-1 ضرب دینے کے لیئے منقسم خاصیت کا استعمال کریں۔

$$4x-4=y-1$$

y کو دونوں طرف سے منہا کریں۔

$$4x-4-y=-1$$

دونوں اطراف میں 4 شامل کریں۔

$$4x-y=-1+4$$

3 حاصل کرنے کے لئے -1 اور 4 شامل کریں۔

$$4x-y=3$$

مساواتوں کو معیاری وضع میں ڈالیں اور پھر مساوات کے نظام کو حل کرنے کے لیے میٹرکس استعمال کریں۔

$$3x-y=-2,4x-y=3$$

مساواتوں کو میٹرکس صورت میں لکھیں۔

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right) کے معکوس میٹرکس سے بائیں جانب مساوات سے ضرب دیں۔

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

ایک میٹرکس کا حاصل ضرب اور اس کا معکوس شناختی میٹرکس ہے۔

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

مساوی نشان کے بائیں ہاتھ کی جانب میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 میٹرکس کے لیے \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، الٹ میٹرکس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، تاکہ میٹرکس مساوات کو میٹرکس ضرب مسئلے کی طرح لکھا جا سکے۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-2\right)+3\\-4\left(-2\right)+3\times 3\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\17\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کے x اور y عناصر کو اخذ کریں۔

$$x=5,y=17$$

خاتمے کا استعمال کرنے کے اقدامات

پہلی مساوات پر غور کریں۔ جبکہ زیرو کے ساتھ تقسیم واضح نہیں کی گئی ہے تو متغیرہ y -1 کے مساوی نہیں ہو سکتا۔ مساوات کی دونوں اطراف کو 3\left(y+1\right) سے ضرب دیں، y+1,3 کا سب کم سے کم مشترک حاصل ضرب۔

$$3\left(x+1\right)=y+1$$

3 کو ایک سے x+1 ضرب دینے کے لیئے منقسم خاصیت کا استعمال کریں۔

$$3x+3=y+1$$

y کو دونوں طرف سے منہا کریں۔

$$3x+3-y=1$$

3 کو دونوں طرف سے منہا کریں۔

$$3x-y=1-3$$

-2 حاصل کرنے کے لئے 1 کو 3 سے تفریق کریں۔

$$3x-y=-2$$

دوسری مساوات پر غور کریں۔ جبکہ زیرو کے ساتھ تقسیم واضح نہیں کی گئی ہے تو متغیرہ y 1 کے مساوی نہیں ہو سکتا۔ مساوات کی دونوں اطراف کو 4\left(y-1\right) سے ضرب دیں، y-1,4 کا سب کم سے کم مشترک حاصل ضرب۔

$$4\left(x-1\right)=y-1$$

4 کو ایک سے x-1 ضرب دینے کے لیئے منقسم خاصیت کا استعمال کریں۔

$$4x-4=y-1$$

y کو دونوں طرف سے منہا کریں۔

$$4x-4-y=-1$$

دونوں اطراف میں 4 شامل کریں۔

$$4x-y=-1+4$$

3 حاصل کرنے کے لئے -1 اور 4 شامل کریں۔

$$4x-y=3$$

خارجی طریقے سے حل کرنے کے لیئے، متغیرات میں سے کسی ایک کا عددی سر دونوں مساوات میں لازمی ایک جیسا ہونا چاہیئے تا کہ ایک متغیر دوسرے متغیر سے تفریق ہونے کی صورت میں متغیرات منسوخ ہوجائیں۔

$$3x-y=-2,4x-y=3$$

مساوی نشان کی ہر جانب ایک جیسے اصطلاحات کو تفریق کر کے 4x-y=3 کو 3x-y=-2 سے منہا کریں۔

$$3x-4x-y+y=-2-3$$

-y کو y میں شامل کریں۔ اصطلاحات -y اور y قلم زد ہو گئے ہیں، جس کے نتیجے میں مساوات میں صرف ایک متغیر باقی ہے جے حل کیا جا سکتا ہے۔

$$3x-4x=-2-3$$

3x کو -4x میں شامل کریں۔

$$-x=-2-3$$

-2 کو -3 میں شامل کریں۔

$$-x=-5$$

-1 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$x=5$$

4x-y=3 میں x کے لئے 5 کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ y کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$4\times 5-y=3$$

4 کو 5 مرتبہ ضرب دیں۔

$$20-y=3$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 20 منہا کریں۔

$$-y=-17$$

-1 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$y=17$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$x=5,y=17$$