{r}{8x+y=21}{24x-5y=23} حل کریں

$$\left. \begin{array} { r } { 8 x + y = 21 } \\ { 24 x - 5 y = 23 } \end{array} \right.$$

x، y کے لئے حل کریں

$$x=2$$

$$y=5$$

متبادل استعمال کرنے کے اقدامات

متبادل کا استعمال کرتے ہوئے مساواتوں کے جوڑے کو حل کرنے کے لیئے، پہلے کسی ایک متغیر کے لیئے مساواتوں میں سے کسی ایک کو حل کریں۔ پھر اس متغیر کے لیئے نتائج کو کسی دوسری مساوات میں متبادل کریں۔

$$8x+y=21,24x-5y=23$$

مساوی نشان کی بائیں ہاتھ کی جانب x کو اکیلا کر کے ان مساوات میں سے ایک کا انتخاب کریں اور اسے x کے لئے حل کریں۔

$$8x+y=21$$

مساوات کے دونوں اطراف سے y منہا کریں۔

$$8x=-y+21$$

8 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$x=\frac{1}{8}\left(-y+21\right)$$

\frac{1}{8} کو -y+21 مرتبہ ضرب دیں۔

$$x=-\frac{1}{8}y+\frac{21}{8}$$

دیگر مساوات 24x-5y=23، میں x کے لئے\frac{-y+21}{8} کو متبادل کریں۔

$$24\left(-\frac{1}{8}y+\frac{21}{8}\right)-5y=23$$

24 کو \frac{-y+21}{8} مرتبہ ضرب دیں۔

$$-3y+63-5y=23$$

-3y کو -5y میں شامل کریں۔

$$-8y+63=23$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 63 منہا کریں۔

$$-8y=-40$$

-8 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$y=5$$

x=-\frac{1}{8}y+\frac{21}{8} میں y کے لئے 5 کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ x کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$x=-\frac{1}{8}\times 5+\frac{21}{8}$$

-\frac{1}{8} کو 5 مرتبہ ضرب دیں۔

$$x=\frac{-5+21}{8}$$

ایک مشترکہ ڈینومینیٹر کو ڈھونڈتے ہوئے اور نیومیریٹر کو شامل کر کے \frac{21}{8} کو -\frac{5}{8} میں شامل کریں۔ اور پھر کسر کو اگر ممکن ہو تو پست ترین اصطلاح تک گھٹائیں۔

$$x=2$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$x=2,y=5$$

میٹرکس کا استعمال کرنے کے اقدامات

مساواتوں کو معیاری وضع میں ڈالیں اور پھر مساوات کے نظام کو حل کرنے کے لیے میٹرکس استعمال کریں۔

$$8x+y=21,24x-5y=23$$

مساواتوں کو میٹرکس صورت میں لکھیں۔

$$\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right) کے معکوس میٹرکس سے بائیں جانب مساوات سے ضرب دیں۔

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

ایک میٹرکس کا حاصل ضرب اور اس کا معکوس شناختی میٹرکس ہے۔

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

مساوی نشان کے بائیں ہاتھ کی جانب میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

2\times 2 میٹرکس \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) کے لئے، معکوس میٹرکس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ہے، لہذا میٹرکس مساوات کو میٹرکس ضرب مسئلہ کے طور پر دوبارہ لکھا جا سکتا ہے۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{8\left(-5\right)-24}&-\frac{1}{8\left(-5\right)-24}\\-\frac{24}{8\left(-5\right)-24}&\frac{8}{8\left(-5\right)-24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{64}&\frac{1}{64}\\\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{64}\times 21+\frac{1}{64}\times 23\\\frac{3}{8}\times 21-\frac{1}{8}\times 23\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کے x اور y عناصر کو اخذ کریں۔

$$x=2,y=5$$

خاتمے کا استعمال کرنے کے اقدامات

خارجی طریقے سے حل کرنے کے لیئے، متغیرات میں سے کسی ایک کا عددی سر دونوں مساوات میں لازمی ایک جیسا ہونا چاہیئے تا کہ ایک متغیر دوسرے متغیر سے تفریق ہونے کی صورت میں متغیرات منسوخ ہوجائیں۔

$$8x+y=21,24x-5y=23$$

8x اور 24x کو برابر بنانے کے لئے، تمام اصطلاحات کو پہلے قاعدے پر 24 سے اور تمام اصطلاحات کو دوسرے کی ہر ایک جانب 8 سے ضرب دیں۔

$$24\times 8x+24y=24\times 21,8\times 24x+8\left(-5\right)y=8\times 23$$

سادہ کریں۔

$$192x+24y=504,192x-40y=184$$

مساوی نشان کی ہر جانب ایک جیسے اصطلاحات کو تفریق کر کے 192x-40y=184 کو 192x+24y=504 سے منہا کریں۔

$$192x-192x+24y+40y=504-184$$

192x کو -192x میں شامل کریں۔ اصطلاحات 192x اور -192x قلم زد ہو گئے ہیں، جس کے نتیجے میں مساوات میں صرف ایک متغیر باقی ہے جے حل کیا جا سکتا ہے۔

$$24y+40y=504-184$$

24y کو 40y میں شامل کریں۔

$$64y=504-184$$

504 کو -184 میں شامل کریں۔

$$64y=320$$

64 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$y=5$$

24x-5y=23 میں y کے لئے 5 کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ x کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$24x-5\times 5=23$$

-5 کو 5 مرتبہ ضرب دیں۔

$$24x-25=23$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 25 کو شامل کریں۔

$$24x=48$$

24 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$x=2$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$x=2,y=5$$