{r}{x+1/2+y-1/3=8}{x-1/3+y+1/2=9} حل کریں

$$\left. \begin{array} { r } { \frac { x + 1 } { 2 } + \frac { y - 1 } { 3 } = 8 } \\ { \frac { x - 1 } { 3 } + \frac { y + 1 } { 2 } = 9 } \end{array} \right.$$

x، y کے لئے حل کریں

$$x=7$$

$$y=13$$

متبادل استعمال کرنے کے اقدامات

متبادل کا استعمال کرتے ہوئے مساواتوں کے جوڑے کو حل کرنے کے لیئے، پہلے کسی ایک متغیر کے لیئے مساواتوں میں سے کسی ایک کو حل کریں۔ پھر اس متغیر کے لیئے نتائج کو کسی دوسری مساوات میں متبادل کریں۔

$$\frac{1}{2}\left(x+1\right)+\frac{1}{3}\left(y-1\right)=8,\frac{1}{3}\left(x-1\right)+\frac{1}{2}\left(y+1\right)=9$$

مساوی نشان کی بائیں ہاتھ کی جانب x کو اکیلا کر کے ان مساوات میں سے ایک کا انتخاب کریں اور اسے x کے لئے حل کریں۔

$$\frac{1}{2}\left(x+1\right)+\frac{1}{3}\left(y-1\right)=8$$

\frac{1}{2} کو x+1 مرتبہ ضرب دیں۔

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\left(y-1\right)=8$$

\frac{1}{3} کو y-1 مرتبہ ضرب دیں۔

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}=8$$

ایک مشترکہ ڈینومینیٹر کو ڈھونڈتے ہوئے اور نیومیریٹر کو شامل کر کے \frac{1}{2} کو -\frac{1}{3} میں شامل کریں۔ اور پھر کسر کو اگر ممکن ہو تو پست ترین اصطلاح تک گھٹائیں۔

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y+\frac{1}{6}=8$$

مساوات کے دونوں اطراف سے \frac{1}{6} منہا کریں۔

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=\frac{47}{6}$$

مساوات کے دونوں اطراف سے \frac{y}{3} منہا کریں۔

$$\frac{1}{2}x=-\frac{1}{3}y+\frac{47}{6}$$

2 سے دونوں اطراف کو ضرب دیں۔

$$x=2\left(-\frac{1}{3}y+\frac{47}{6}\right)$$

2 کو -\frac{y}{3}+\frac{47}{6} مرتبہ ضرب دیں۔

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{47}{3}$$

دیگر مساوات \frac{1}{3}\left(x-1\right)+\frac{1}{2}\left(y+1\right)=9، میں x کے لئے\frac{-2y+47}{3} کو متبادل کریں۔

$$\frac{1}{3}\left(-\frac{2}{3}y+\frac{47}{3}-1\right)+\frac{1}{2}\left(y+1\right)=9$$

\frac{47}{3} کو -1 میں شامل کریں۔

$$\frac{1}{3}\left(-\frac{2}{3}y+\frac{44}{3}\right)+\frac{1}{2}\left(y+1\right)=9$$

\frac{1}{3} کو \frac{-2y+44}{3} مرتبہ ضرب دیں۔

$$-\frac{2}{9}y+\frac{44}{9}+\frac{1}{2}\left(y+1\right)=9$$

\frac{1}{2} کو y+1 مرتبہ ضرب دیں۔

$$-\frac{2}{9}y+\frac{44}{9}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}=9$$

-\frac{2y}{9} کو \frac{y}{2} میں شامل کریں۔

$$\frac{5}{18}y+\frac{44}{9}+\frac{1}{2}=9$$

ایک مشترکہ ڈینومینیٹر کو ڈھونڈتے ہوئے اور نیومیریٹر کو شامل کر کے \frac{44}{9} کو \frac{1}{2} میں شامل کریں۔ اور پھر کسر کو اگر ممکن ہو تو پست ترین اصطلاح تک گھٹائیں۔

$$\frac{5}{18}y+\frac{97}{18}=9$$

مساوات کے دونوں اطراف سے \frac{97}{18} منہا کریں۔

$$\frac{5}{18}y=\frac{65}{18}$$

مساوات کی دونوں اطراف کو \frac{5}{18} سے تقسیم کریں، جو کہ دونوں اطراف کو کسر کے معکوس کو ضرب دینے کی طرح ہے۔

$$y=13$$

x=-\frac{2}{3}y+\frac{47}{3} میں y کے لئے 13 کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ x کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$x=-\frac{2}{3}\times 13+\frac{47}{3}$$

-\frac{2}{3} کو 13 مرتبہ ضرب دیں۔

$$x=\frac{-26+47}{3}$$

ایک مشترکہ ڈینومینیٹر کو ڈھونڈتے ہوئے اور نیومیریٹر کو شامل کر کے \frac{47}{3} کو -\frac{26}{3} میں شامل کریں۔ اور پھر کسر کو اگر ممکن ہو تو پست ترین اصطلاح تک گھٹائیں۔

$$x=7$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$x=7,y=13$$

میٹرکس کا استعمال کرنے کے اقدامات

مساواتوں کو معیاری وضع میں ڈالیں اور پھر مساوات کے نظام کو حل کرنے کے لیے میٹرکس استعمال کریں۔

$$\frac{1}{2}\left(x+1\right)+\frac{1}{3}\left(y-1\right)=8,\frac{1}{3}\left(x-1\right)+\frac{1}{2}\left(y+1\right)=9$$

اسے معیاری شکل میں لانے کے لئے پہلی مساوات کو آسان بنائیں۔

$$\frac{1}{2}\left(x+1\right)+\frac{1}{3}\left(y-1\right)=8$$

\frac{1}{2} کو x+1 مرتبہ ضرب دیں۔

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\left(y-1\right)=8$$

\frac{1}{3} کو y-1 مرتبہ ضرب دیں۔

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}=8$$

ایک مشترکہ ڈینومینیٹر کو ڈھونڈتے ہوئے اور نیومیریٹر کو شامل کر کے \frac{1}{2} کو -\frac{1}{3} میں شامل کریں۔ اور پھر کسر کو اگر ممکن ہو تو پست ترین اصطلاح تک گھٹائیں۔

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y+\frac{1}{6}=8$$

مساوات کے دونوں اطراف سے \frac{1}{6} منہا کریں۔

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=\frac{47}{6}$$

اسے معیاری شکل میں لانے کے لئے دوسری مساوات کو آسان بنائیں۔

$$\frac{1}{3}\left(x-1\right)+\frac{1}{2}\left(y+1\right)=9$$

\frac{1}{3} کو x-1 مرتبہ ضرب دیں۔

$$\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\left(y+1\right)=9$$

\frac{1}{2} کو y+1 مرتبہ ضرب دیں۔

$$\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}=9$$

ایک مشترکہ ڈینومینیٹر کو ڈھونڈتے ہوئے اور نیومیریٹر کو شامل کر کے -\frac{1}{3} کو \frac{1}{2} میں شامل کریں۔ اور پھر کسر کو اگر ممکن ہو تو پست ترین اصطلاح تک گھٹائیں۔

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}=9$$

مساوات کے دونوں اطراف سے \frac{1}{6} منہا کریں۔

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y=\frac{53}{6}$$

مساواتوں کو میٹرکس صورت میں لکھیں۔

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{47}{6}\\\frac{53}{6}\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right) کے معکوس میٹرکس سے بائیں جانب مساوات سے ضرب دیں۔

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{47}{6}\\\frac{53}{6}\end{matrix}\right)$$

ایک میٹرکس کا حاصل ضرب اور اس کا معکوس شناختی میٹرکس ہے۔

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{47}{6}\\\frac{53}{6}\end{matrix}\right)$$

مساوی نشان کے بائیں ہاتھ کی جانب میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{47}{6}\\\frac{53}{6}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 میٹرکس \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) کے لئے، معکوس میٹرکس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ہے، لہذا میٹرکس مساوات کو میٹرکس ضرب مسئلہ کے طور پر دوبارہ لکھا جا سکتا ہے۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}}&-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}}\\-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}}&\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{47}{6}\\\frac{53}{6}\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{5}&-\frac{12}{5}\\-\frac{12}{5}&\frac{18}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{47}{6}\\\frac{53}{6}\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{5}\times \frac{47}{6}-\frac{12}{5}\times \frac{53}{6}\\-\frac{12}{5}\times \frac{47}{6}+\frac{18}{5}\times \frac{53}{6}\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\13\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کے x اور y عناصر کو اخذ کریں۔

$$x=7,y=13$$