{l}{x^2+2y^2=8}{y=m(x-2)+sqrt{2}} حل کریں

$$\left. \begin{array} { l } { x ^ { 2 } + 2 y ^ { 2 } = 8 } \\ { y = m ( x - 2 ) + \sqrt { 2 } } \end{array} \right.$$

x، y کے لئے حل کریں

$$x=\frac{2\left(2m^{2}-\sqrt{2m^{2}+2\sqrt{2}m+1}-\sqrt{2}m\right)}{2m^{2}+1}\text{, }y=\frac{\sqrt{2}\left(-2m|\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}m+1\right)}{2}|-\sqrt{2}m+1\right)}{2m^{2}+1}$$

$$x=\frac{2\left(2m^{2}+\sqrt{2m^{2}+2\sqrt{2}m+1}-\sqrt{2}m\right)}{2m^{2}+1}\text{, }y=\frac{\sqrt{2}\left(2m|\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}m+1\right)}{2}|-\sqrt{2}m+1\right)}{2m^{2}+1}$$

متبادل اور مربعی فارمولا استعمال کرنے کے اقدامات

دوسری مساوات پر غور کریں۔ m کو ایک سے x-2 ضرب دینے کے لیئے منقسم خاصیت کا استعمال کریں۔

$$y=mx-2m+\sqrt{2}$$

دیگر مساوات x^{2}+2y^{2}=8، میں y کے لئےmx-2m+\sqrt{2} کو متبادل کریں۔

$$x^{2}+2\left(mx-2m+\sqrt{2}\right)^{2}=8$$

مربع mx-2m+\sqrt{2}۔

$$x^{2}+2\left(m^{2}x^{2}+2m\left(-2m+\sqrt{2}\right)x+\left(-2m+\sqrt{2}\right)^{2}\right)=8$$

2 کو m^{2}x^{2}+2m\left(-2m+\sqrt{2}\right)x+\left(-2m+\sqrt{2}\right)^{2} مرتبہ ضرب دیں۔

$$x^{2}+2m^{2}x^{2}+4m\left(-2m+\sqrt{2}\right)x+2\left(-2m+\sqrt{2}\right)^{2}=8$$

x^{2} کو 2m^{2}x^{2} میں شامل کریں۔

$$\left(2m^{2}+1\right)x^{2}+4m\left(-2m+\sqrt{2}\right)x+2\left(-2m+\sqrt{2}\right)^{2}=8$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 8 منہا کریں۔

$$\left(2m^{2}+1\right)x^{2}+4m\left(-2m+\sqrt{2}\right)x+2\left(-2m+\sqrt{2}\right)^{2}-8=0$$

یہ مساوات معیاری وضع میں ہے: ax^{2}+bx+c=0۔ مربعی فارمولا \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} میں a کے لئے 1+2m^{2} کو، b کے لئے 2\times 2m\left(-2m+\sqrt{2}\right) کو اور c کے لئے -4+8m^{2}-8m\sqrt{2} کو متبادل کریں۔

$$x=\frac{-4m\left(-2m+\sqrt{2}\right)±\sqrt{\left(4m\left(-2m+\sqrt{2}\right)\right)^{2}-4\left(2m^{2}+1\right)\left(8m^{2}-8\sqrt{2}m-4\right)}}{2\left(2m^{2}+1\right)}$$

مربع 2\times 2m\left(-2m+\sqrt{2}\right)۔

$$x=\frac{-4m\left(-2m+\sqrt{2}\right)±\sqrt{16m^{2}\left(-2m+\sqrt{2}\right)^{2}-4\left(2m^{2}+1\right)\left(8m^{2}-8\sqrt{2}m-4\right)}}{2\left(2m^{2}+1\right)}$$

-4 کو 1+2m^{2} مرتبہ ضرب دیں۔

$$x=\frac{-4m\left(-2m+\sqrt{2}\right)±\sqrt{16m^{2}\left(-2m+\sqrt{2}\right)^{2}+\left(-8m^{2}-4\right)\left(8m^{2}-8\sqrt{2}m-4\right)}}{2\left(2m^{2}+1\right)}$$

-4-8m^{2} کو -4+8m^{2}-8m\sqrt{2} مرتبہ ضرب دیں۔

$$x=\frac{-4m\left(-2m+\sqrt{2}\right)±\sqrt{16m^{2}\left(-2m+\sqrt{2}\right)^{2}-64m^{4}+64\sqrt{2}m^{3}+32\sqrt{2}m+16}}{2\left(2m^{2}+1\right)}$$

16m^{2}\left(-2m+\sqrt{2}\right)^{2} کو 16+32m\sqrt{2}-64m^{4}+64m^{3}\sqrt{2} میں شامل کریں۔

$$x=\frac{-4m\left(-2m+\sqrt{2}\right)±\sqrt{32m^{2}+32\sqrt{2}m+16}}{2\left(2m^{2}+1\right)}$$

16+32m^{2}+32m\sqrt{2} کا جذر لیں۔

$$x=\frac{-4m\left(-2m+\sqrt{2}\right)±4\sqrt{2m^{2}+2\sqrt{2}m+1}}{2\left(2m^{2}+1\right)}$$

2 کو 1+2m^{2} مرتبہ ضرب دیں۔

$$x=\frac{-4m\left(-2m+\sqrt{2}\right)±4\sqrt{2m^{2}+2\sqrt{2}m+1}}{4m^{2}+2}$$

جب ± جمع ہو تو اب مساوات x=\frac{-4m\left(-2m+\sqrt{2}\right)±4\sqrt{2m^{2}+2\sqrt{2}m+1}}{4m^{2}+2} کو حل کریں۔ -4m\left(-2m+\sqrt{2}\right) کو 4\sqrt{1+2m^{2}+2m\sqrt{2}} میں شامل کریں۔

$$x=\frac{-4m\left(-2m+\sqrt{2}\right)+4\sqrt{2m^{2}+2\sqrt{2}m+1}}{4m^{2}+2}$$

-4m\left(-2m+\sqrt{2}\right)+4\sqrt{1+2m^{2}+2m\sqrt{2}} کو 2+4m^{2} سے تقسیم کریں۔

$$x=\frac{2\left(2m^{2}+\sqrt{2m^{2}+2\sqrt{2}m+1}-\sqrt{2}m\right)}{2m^{2}+1}$$

جب ± منفی ہو تو اب مساوات x=\frac{-4m\left(-2m+\sqrt{2}\right)±4\sqrt{2m^{2}+2\sqrt{2}m+1}}{4m^{2}+2} کو حل کریں۔ 4\sqrt{1+2m^{2}+2m\sqrt{2}} کو -4m\left(-2m+\sqrt{2}\right) میں سے منہا کریں۔

$$x=\frac{8m^{2}-4\sqrt{2m^{2}+2\sqrt{2}m+1}-4\sqrt{2}m}{4m^{2}+2}$$

8m^{2}-4m\sqrt{2}-4\sqrt{1+2m^{2}+2m\sqrt{2}} کو 2+4m^{2} سے تقسیم کریں۔

$$x=\frac{2\left(2m^{2}-\sqrt{2m^{2}+2\sqrt{2}m+1}-\sqrt{2}m\right)}{2m^{2}+1}$$

x کے لیے دو حل ہیں: \frac{2\left(2m^{2}-m\sqrt{2}+\sqrt{2m^{2}+1+2m\sqrt{2}}\right)}{1+2m^{2}} اور \frac{2\left(2m^{2}-m\sqrt{2}-\sqrt{2m^{2}+1+2m\sqrt{2}}\right)}{1+2m^{2}}۔ y کے لئے متعلقہ حل تلاش کرنے کے لئے y=mx-2m+\sqrt{2} مساوات میں \frac{2\left(2m^{2}-m\sqrt{2}+\sqrt{2m^{2}+1+2m\sqrt{2}}\right)}{1+2m^{2}} کو x کے لئے متبادل کریں جو دونوں مساواتوں کی تکمیل کرے۔

$$y=m\times \frac{2\left(2m^{2}+\sqrt{2m^{2}+2\sqrt{2}m+1}-\sqrt{2}m\right)}{2m^{2}+1}-2m+\sqrt{2}$$

m کو \frac{2\left(2m^{2}-m\sqrt{2}+\sqrt{2m^{2}+1+2m\sqrt{2}}\right)}{1+2m^{2}} مرتبہ ضرب دیں۔

$$y=\frac{2\left(2m^{2}+\sqrt{2m^{2}+2\sqrt{2}m+1}-\sqrt{2}m\right)}{2m^{2}+1}m-2m+\sqrt{2}$$

اب \frac{2\left(2m^{2}-m\sqrt{2}-\sqrt{2m^{2}+1+2m\sqrt{2}}\right)}{1+2m^{2}} کو x کے لئے y=mx-2m+\sqrt{2} مساوات میں متبادل کریں اور y کے لیئے متعلقہ حل تلاش کرنے کے لئے حل کریں جو دونوں مساواتوں کی تکمیل کرے۔

$$y=m\times \frac{2\left(2m^{2}-\sqrt{2m^{2}+2\sqrt{2}m+1}-\sqrt{2}m\right)}{2m^{2}+1}-2m+\sqrt{2}$$

m کو \frac{2\left(2m^{2}-m\sqrt{2}-\sqrt{2m^{2}+1+2m\sqrt{2}}\right)}{1+2m^{2}} مرتبہ ضرب دیں۔

$$y=\frac{2\left(2m^{2}-\sqrt{2m^{2}+2\sqrt{2}m+1}-\sqrt{2}m\right)}{2m^{2}+1}m-2m+\sqrt{2}$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$y=\frac{2\left(2m^{2}+\sqrt{2m^{2}+2\sqrt{2}m+1}-\sqrt{2}m\right)}{2m^{2}+1}m-2m+\sqrt{2},x=\frac{2\left(2m^{2}+\sqrt{2m^{2}+2\sqrt{2}m+1}-\sqrt{2}m\right)}{2m^{2}+1}\text{ or }y=\frac{2\left(2m^{2}-\sqrt{2m^{2}+2\sqrt{2}m+1}-\sqrt{2}m\right)}{2m^{2}+1}m-2m+\sqrt{2},x=\frac{2\left(2m^{2}-\sqrt{2m^{2}+2\sqrt{2}m+1}-\sqrt{2}m\right)}{2m^{2}+1}$$

x، y کے لئے حل کریں (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{2\left(2m^{2}-\sqrt{2m^{2}+2\sqrt{2}m+1}-\sqrt{2}m\right)}{2m^{2}+1}\text{, }y=\frac{\sqrt{2}\left(-m\sqrt{2\left(\sqrt{2}m+1\right)^{2}}-\sqrt{2}m+1\right)}{2m^{2}+1}\text{; }x=\frac{2\left(2m^{2}+\sqrt{2m^{2}+2\sqrt{2}m+1}-\sqrt{2}m\right)}{2m^{2}+1}\text{, }y=\frac{\sqrt{2}\left(m\sqrt{2\left(\sqrt{2}m+1\right)^{2}}-\sqrt{2}m+1\right)}{2m^{2}+1}\text{, }&m\neq -\frac{\sqrt{2}i}{2}\text{ and }m\neq \frac{\sqrt{2}i}{2}\\x=-\frac{\left(-2m+\sqrt{2}\right)^{2}-4}{2m\left(-2m+\sqrt{2}\right)}\text{, }y=\frac{2m^{2}-2\sqrt{2}m+3}{-2m+\sqrt{2}}\text{, }&m=-\frac{\sqrt{2}i}{2}\text{ or }m=\frac{\sqrt{2}i}{2}\end{matrix}\right.$$