{l}{x+y=500}{25x+35y=1450} حل کریں

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 500 } \\ { 25 x + 35 y = 1450 } \end{array} \right.$$

x، y کے لئے حل کریں

$$x=1605$$

$$y=-1105$$

متبادل استعمال کرنے کے اقدامات

متبادل کا استعمال کرتے ہوئے مساواتوں کے جوڑے کو حل کرنے کے لیئے، پہلے کسی ایک متغیر کے لیئے مساواتوں میں سے کسی ایک کو حل کریں۔ پھر اس متغیر کے لیئے نتائج کو کسی دوسری مساوات میں متبادل کریں۔

$$x+y=500,25x+35y=1450$$

مساوی نشان کی بائیں ہاتھ کی جانب x کو اکیلا کر کے ان مساوات میں سے ایک کا انتخاب کریں اور اسے x کے لئے حل کریں۔

$$x+y=500$$

مساوات کے دونوں اطراف سے y منہا کریں۔

$$x=-y+500$$

دیگر مساوات 25x+35y=1450، میں x کے لئے-y+500 کو متبادل کریں۔

$$25\left(-y+500\right)+35y=1450$$

25 کو -y+500 مرتبہ ضرب دیں۔

$$-25y+12500+35y=1450$$

-25y کو 35y میں شامل کریں۔

$$10y+12500=1450$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 12500 منہا کریں۔

$$10y=-11050$$

10 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$y=-1105$$

x=-y+500 میں y کے لئے -1105 کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ x کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$x=-\left(-1105\right)+500$$

-1 کو -1105 مرتبہ ضرب دیں۔

$$x=1105+500$$

500 کو 1105 میں شامل کریں۔

$$x=1605$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$x=1605,y=-1105$$

میٹرکس کا استعمال کرنے کے اقدامات

مساواتوں کو معیاری وضع میں ڈالیں اور پھر مساوات کے نظام کو حل کرنے کے لیے میٹرکس استعمال کریں۔

$$x+y=500,25x+35y=1450$$

مساواتوں کو میٹرکس صورت میں لکھیں۔

$$\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right) کے معکوس میٹرکس سے بائیں جانب مساوات سے ضرب دیں۔

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

ایک میٹرکس کا حاصل ضرب اور اس کا معکوس شناختی میٹرکس ہے۔

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

مساوی نشان کے بائیں ہاتھ کی جانب میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

2\times 2 میٹرکس \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) کے لئے، معکوس میٹرکس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ہے، لہذا میٹرکس مساوات کو میٹرکس ضرب مسئلہ کے طور پر دوبارہ لکھا جا سکتا ہے۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{35-25}&-\frac{1}{35-25}\\-\frac{25}{35-25}&\frac{1}{35-25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}&-\frac{1}{10}\\-\frac{5}{2}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\times 500-\frac{1}{10}\times 1450\\-\frac{5}{2}\times 500+\frac{1}{10}\times 1450\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1605\\-1105\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کے x اور y عناصر کو اخذ کریں۔

$$x=1605,y=-1105$$

خاتمے کا استعمال کرنے کے اقدامات

خارجی طریقے سے حل کرنے کے لیئے، متغیرات میں سے کسی ایک کا عددی سر دونوں مساوات میں لازمی ایک جیسا ہونا چاہیئے تا کہ ایک متغیر دوسرے متغیر سے تفریق ہونے کی صورت میں متغیرات منسوخ ہوجائیں۔

$$x+y=500,25x+35y=1450$$

x اور 25x کو برابر بنانے کے لئے، تمام اصطلاحات کو پہلے قاعدے پر 25 سے اور تمام اصطلاحات کو دوسرے کی ہر ایک جانب 1 سے ضرب دیں۔

$$25x+25y=25\times 500,25x+35y=1450$$

سادہ کریں۔

$$25x+25y=12500,25x+35y=1450$$

مساوی نشان کی ہر جانب ایک جیسے اصطلاحات کو تفریق کر کے 25x+35y=1450 کو 25x+25y=12500 سے منہا کریں۔

$$25x-25x+25y-35y=12500-1450$$

25x کو -25x میں شامل کریں۔ اصطلاحات 25x اور -25x قلم زد ہو گئے ہیں، جس کے نتیجے میں مساوات میں صرف ایک متغیر باقی ہے جے حل کیا جا سکتا ہے۔

$$25y-35y=12500-1450$$

25y کو -35y میں شامل کریں۔

$$-10y=12500-1450$$

12500 کو -1450 میں شامل کریں۔

$$-10y=11050$$

-10 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$y=-1105$$

25x+35y=1450 میں y کے لئے -1105 کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ x کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$25x+35\left(-1105\right)=1450$$

35 کو -1105 مرتبہ ضرب دیں۔

$$25x-38675=1450$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 38675 کو شامل کریں۔

$$25x=40125$$

25 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$x=1605$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$x=1605,y=-1105$$