{l}{41x+53y=135}{53x+41y=147} حل کریں

$$\left. \begin{array} { l } { 41 x + 53 y = 135 } \\ { 53 x + 41 y = 147 } \end{array} \right.$$

x، y کے لئے حل کریں

$$x=2$$

$$y=1$$

متبادل استعمال کرنے کے اقدامات

متبادل کا استعمال کرتے ہوئے مساواتوں کے جوڑے کو حل کرنے کے لیئے، پہلے کسی ایک متغیر کے لیئے مساواتوں میں سے کسی ایک کو حل کریں۔ پھر اس متغیر کے لیئے نتائج کو کسی دوسری مساوات میں متبادل کریں۔

$$41x+53y=135,53x+41y=147$$

مساوی نشان کی بائیں ہاتھ کی جانب x کو اکیلا کر کے ان مساوات میں سے ایک کا انتخاب کریں اور اسے x کے لئے حل کریں۔

$$41x+53y=135$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 53y منہا کریں۔

$$41x=-53y+135$$

41 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$x=\frac{1}{41}\left(-53y+135\right)$$

\frac{1}{41} کو -53y+135 مرتبہ ضرب دیں۔

$$x=-\frac{53}{41}y+\frac{135}{41}$$

دیگر مساوات 53x+41y=147، میں x کے لئے\frac{-53y+135}{41} کو متبادل کریں۔

$$53\left(-\frac{53}{41}y+\frac{135}{41}\right)+41y=147$$

53 کو \frac{-53y+135}{41} مرتبہ ضرب دیں۔

$$-\frac{2809}{41}y+\frac{7155}{41}+41y=147$$

-\frac{2809y}{41} کو 41y میں شامل کریں۔

$$-\frac{1128}{41}y+\frac{7155}{41}=147$$

مساوات کے دونوں اطراف سے \frac{7155}{41} منہا کریں۔

$$-\frac{1128}{41}y=-\frac{1128}{41}$$

مساوات کی دونوں اطراف کو -\frac{1128}{41} سے تقسیم کریں، جو کہ دونوں اطراف کو کسر کے معکوس کو ضرب دینے کی طرح ہے۔

$$y=1$$

x=-\frac{53}{41}y+\frac{135}{41} میں y کے لئے 1 کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ x کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$x=\frac{-53+135}{41}$$

ایک مشترکہ ڈینومینیٹر کو ڈھونڈتے ہوئے اور نیومیریٹر کو شامل کر کے \frac{135}{41} کو -\frac{53}{41} میں شامل کریں۔ اور پھر کسر کو اگر ممکن ہو تو پست ترین اصطلاح تک گھٹائیں۔

$$x=2$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$x=2,y=1$$

میٹرکس کا استعمال کرنے کے اقدامات

مساواتوں کو معیاری وضع میں ڈالیں اور پھر مساوات کے نظام کو حل کرنے کے لیے میٹرکس استعمال کریں۔

$$41x+53y=135,53x+41y=147$$

مساواتوں کو میٹرکس صورت میں لکھیں۔

$$\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right) کے معکوس میٹرکس سے بائیں جانب مساوات سے ضرب دیں۔

$$inverse(\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

ایک میٹرکس کا حاصل ضرب اور اس کا معکوس شناختی میٹرکس ہے۔

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

مساوی نشان کے بائیں ہاتھ کی جانب میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

2\times 2 میٹرکس کے لیے \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، الٹ میٹرکس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، تاکہ میٹرکس مساوات کو میٹرکس ضرب مسئلے کی طرح لکھا جا سکے۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{41}{41\times 41-53\times 53}&-\frac{53}{41\times 41-53\times 53}\\-\frac{53}{41\times 41-53\times 53}&\frac{41}{41\times 41-53\times 53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{41}{1128}&\frac{53}{1128}\\\frac{53}{1128}&-\frac{41}{1128}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{41}{1128}\times 135+\frac{53}{1128}\times 147\\\frac{53}{1128}\times 135-\frac{41}{1128}\times 147\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کے x اور y عناصر کو اخذ کریں۔

$$x=2,y=1$$

خاتمے کا استعمال کرنے کے اقدامات

خارجی طریقے سے حل کرنے کے لیئے، متغیرات میں سے کسی ایک کا عددی سر دونوں مساوات میں لازمی ایک جیسا ہونا چاہیئے تا کہ ایک متغیر دوسرے متغیر سے تفریق ہونے کی صورت میں متغیرات منسوخ ہوجائیں۔

$$41x+53y=135,53x+41y=147$$

41x اور 53x کو برابر بنانے کے لئے، تمام اصطلاحات کو پہلے قاعدے پر 53 سے اور تمام اصطلاحات کو دوسرے کی ہر ایک جانب 41 سے ضرب دیں۔

$$53\times 41x+53\times 53y=53\times 135,41\times 53x+41\times 41y=41\times 147$$

سادہ کریں۔

$$2173x+2809y=7155,2173x+1681y=6027$$

مساوی نشان کی ہر جانب ایک جیسے اصطلاحات کو تفریق کر کے 2173x+1681y=6027 کو 2173x+2809y=7155 سے منہا کریں۔

$$2173x-2173x+2809y-1681y=7155-6027$$

2173x کو -2173x میں شامل کریں۔ اصطلاحات 2173x اور -2173x قلم زد ہو گئے ہیں، جس کے نتیجے میں مساوات میں صرف ایک متغیر باقی ہے جے حل کیا جا سکتا ہے۔

$$2809y-1681y=7155-6027$$

2809y کو -1681y میں شامل کریں۔

$$1128y=7155-6027$$

7155 کو -6027 میں شامل کریں۔

$$1128y=1128$$

1128 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$y=1$$

53x+41y=147 میں y کے لئے 1 کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ x کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$53x+41=147$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 41 منہا کریں۔

$$53x=106$$

53 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$x=2$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$x=2,y=1$$