{l}{40x+30y=500}{60x+15y=60} حل کریں

$$\left. \begin{array} { l } { 40 x + 30 y = 500 } \\ { 60 x + 15 y = 60 } \end{array} \right.$$

x، y کے لئے حل کریں

$$x = -\frac{19}{4} = -4\frac{3}{4} = -4.75$$

$$y=23$$

متبادل استعمال کرنے کے اقدامات

متبادل کا استعمال کرتے ہوئے مساواتوں کے جوڑے کو حل کرنے کے لیئے، پہلے کسی ایک متغیر کے لیئے مساواتوں میں سے کسی ایک کو حل کریں۔ پھر اس متغیر کے لیئے نتائج کو کسی دوسری مساوات میں متبادل کریں۔

$$40x+30y=500,60x+15y=60$$

مساوی نشان کی بائیں ہاتھ کی جانب x کو اکیلا کر کے ان مساوات میں سے ایک کا انتخاب کریں اور اسے x کے لئے حل کریں۔

$$40x+30y=500$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 30y منہا کریں۔

$$40x=-30y+500$$

40 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$x=\frac{1}{40}\left(-30y+500\right)$$

\frac{1}{40} کو -30y+500 مرتبہ ضرب دیں۔

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{25}{2}$$

دیگر مساوات 60x+15y=60، میں x کے لئے-\frac{3y}{4}+\frac{25}{2} کو متبادل کریں۔

$$60\left(-\frac{3}{4}y+\frac{25}{2}\right)+15y=60$$

60 کو -\frac{3y}{4}+\frac{25}{2} مرتبہ ضرب دیں۔

$$-45y+750+15y=60$$

-45y کو 15y میں شامل کریں۔

$$-30y+750=60$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 750 منہا کریں۔

$$-30y=-690$$

-30 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$y=23$$

x=-\frac{3}{4}y+\frac{25}{2} میں y کے لئے 23 کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ x کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$x=-\frac{3}{4}\times 23+\frac{25}{2}$$

-\frac{3}{4} کو 23 مرتبہ ضرب دیں۔

$$x=-\frac{69}{4}+\frac{25}{2}$$

ایک مشترکہ ڈینومینیٹر کو ڈھونڈتے ہوئے اور نیومیریٹر کو شامل کر کے \frac{25}{2} کو -\frac{69}{4} میں شامل کریں۔ اور پھر کسر کو اگر ممکن ہو تو پست ترین اصطلاح تک گھٹائیں۔

$$x=-\frac{19}{4}$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$x=-\frac{19}{4},y=23$$

میٹرکس کا استعمال کرنے کے اقدامات

مساواتوں کو معیاری وضع میں ڈالیں اور پھر مساوات کے نظام کو حل کرنے کے لیے میٹرکس استعمال کریں۔

$$40x+30y=500,60x+15y=60$$

مساواتوں کو میٹرکس صورت میں لکھیں۔

$$\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}500\\60\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right) کے معکوس میٹرکس سے بائیں جانب مساوات سے ضرب دیں۔

$$inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\60\end{matrix}\right)$$

ایک میٹرکس کا حاصل ضرب اور اس کا معکوس شناختی میٹرکس ہے۔

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\60\end{matrix}\right)$$

مساوی نشان کے بائیں ہاتھ کی جانب میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\60\end{matrix}\right)$$

2\times 2 میٹرکس \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) کے لئے، معکوس میٹرکس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ہے، لہذا میٹرکس مساوات کو میٹرکس ضرب مسئلہ کے طور پر دوبارہ لکھا جا سکتا ہے۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{40\times 15-30\times 60}&-\frac{30}{40\times 15-30\times 60}\\-\frac{60}{40\times 15-30\times 60}&\frac{40}{40\times 15-30\times 60}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\60\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}&\frac{1}{40}\\\frac{1}{20}&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\60\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}\times 500+\frac{1}{40}\times 60\\\frac{1}{20}\times 500-\frac{1}{30}\times 60\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{19}{4}\\23\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کے x اور y عناصر کو اخذ کریں۔

$$x=-\frac{19}{4},y=23$$

خاتمے کا استعمال کرنے کے اقدامات

خارجی طریقے سے حل کرنے کے لیئے، متغیرات میں سے کسی ایک کا عددی سر دونوں مساوات میں لازمی ایک جیسا ہونا چاہیئے تا کہ ایک متغیر دوسرے متغیر سے تفریق ہونے کی صورت میں متغیرات منسوخ ہوجائیں۔

$$40x+30y=500,60x+15y=60$$

40x اور 60x کو برابر بنانے کے لئے، تمام اصطلاحات کو پہلے قاعدے پر 60 سے اور تمام اصطلاحات کو دوسرے کی ہر ایک جانب 40 سے ضرب دیں۔

$$60\times 40x+60\times 30y=60\times 500,40\times 60x+40\times 15y=40\times 60$$

سادہ کریں۔

$$2400x+1800y=30000,2400x+600y=2400$$

مساوی نشان کی ہر جانب ایک جیسے اصطلاحات کو تفریق کر کے 2400x+600y=2400 کو 2400x+1800y=30000 سے منہا کریں۔

$$2400x-2400x+1800y-600y=30000-2400$$

2400x کو -2400x میں شامل کریں۔ اصطلاحات 2400x اور -2400x قلم زد ہو گئے ہیں، جس کے نتیجے میں مساوات میں صرف ایک متغیر باقی ہے جے حل کیا جا سکتا ہے۔

$$1800y-600y=30000-2400$$

1800y کو -600y میں شامل کریں۔

$$1200y=30000-2400$$

30000 کو -2400 میں شامل کریں۔

$$1200y=27600$$

1200 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$y=23$$

60x+15y=60 میں y کے لئے 23 کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ x کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$60x+15\times 23=60$$

15 کو 23 مرتبہ ضرب دیں۔

$$60x+345=60$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 345 منہا کریں۔

$$60x=-285$$

60 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$x=-\frac{19}{4}$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$x=-\frac{19}{4},y=23$$