{l}{4x+y=15}{5y+19x=30} حل کریں

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = 15 } \\ { 5 y + 19 x = 30 } \end{array} \right.$$

x، y کے لئے حل کریں

$$x=45$$

$$y=-165$$

متبادل استعمال کرنے کے اقدامات

متبادل کا استعمال کرتے ہوئے مساواتوں کے جوڑے کو حل کرنے کے لیئے، پہلے کسی ایک متغیر کے لیئے مساواتوں میں سے کسی ایک کو حل کریں۔ پھر اس متغیر کے لیئے نتائج کو کسی دوسری مساوات میں متبادل کریں۔

$$4x+y=15,19x+5y=30$$

مساوی نشان کی بائیں ہاتھ کی جانب x کو اکیلا کر کے ان مساوات میں سے ایک کا انتخاب کریں اور اسے x کے لئے حل کریں۔

$$4x+y=15$$

مساوات کے دونوں اطراف سے y منہا کریں۔

$$4x=-y+15$$

4 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+15\right)$$

\frac{1}{4} کو -y+15 مرتبہ ضرب دیں۔

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{15}{4}$$

دیگر مساوات 19x+5y=30، میں x کے لئے\frac{-y+15}{4} کو متبادل کریں۔

$$19\left(-\frac{1}{4}y+\frac{15}{4}\right)+5y=30$$

19 کو \frac{-y+15}{4} مرتبہ ضرب دیں۔

$$-\frac{19}{4}y+\frac{285}{4}+5y=30$$

-\frac{19y}{4} کو 5y میں شامل کریں۔

$$\frac{1}{4}y+\frac{285}{4}=30$$

مساوات کے دونوں اطراف سے \frac{285}{4} منہا کریں۔

$$\frac{1}{4}y=-\frac{165}{4}$$

4 سے دونوں اطراف کو ضرب دیں۔

$$y=-165$$

x=-\frac{1}{4}y+\frac{15}{4} میں y کے لئے -165 کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ x کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$x=-\frac{1}{4}\left(-165\right)+\frac{15}{4}$$

-\frac{1}{4} کو -165 مرتبہ ضرب دیں۔

$$x=\frac{165+15}{4}$$

ایک مشترکہ ڈینومینیٹر کو ڈھونڈتے ہوئے اور نیومیریٹر کو شامل کر کے \frac{15}{4} کو \frac{165}{4} میں شامل کریں۔ اور پھر کسر کو اگر ممکن ہو تو پست ترین اصطلاح تک گھٹائیں۔

$$x=45$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$x=45,y=-165$$

میٹرکس کا استعمال کرنے کے اقدامات

مساواتوں کو معیاری وضع میں ڈالیں اور پھر مساوات کے نظام کو حل کرنے کے لیے میٹرکس استعمال کریں۔

$$4x+y=15,19x+5y=30$$

مساواتوں کو میٹرکس صورت میں لکھیں۔

$$\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right) کے معکوس میٹرکس سے بائیں جانب مساوات سے ضرب دیں۔

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

ایک میٹرکس کا حاصل ضرب اور اس کا معکوس شناختی میٹرکس ہے۔

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

مساوی نشان کے بائیں ہاتھ کی جانب میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

2\times 2 میٹرکس \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) کے لئے، معکوس میٹرکس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ہے، لہذا میٹرکس مساوات کو میٹرکس ضرب مسئلہ کے طور پر دوبارہ لکھا جا سکتا ہے۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-19}&-\frac{1}{4\times 5-19}\\-\frac{19}{4\times 5-19}&\frac{4}{4\times 5-19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&-1\\-19&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 15-30\\-19\times 15+4\times 30\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\-165\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کے x اور y عناصر کو اخذ کریں۔

$$x=45,y=-165$$

خاتمے کا استعمال کرنے کے اقدامات

خارجی طریقے سے حل کرنے کے لیئے، متغیرات میں سے کسی ایک کا عددی سر دونوں مساوات میں لازمی ایک جیسا ہونا چاہیئے تا کہ ایک متغیر دوسرے متغیر سے تفریق ہونے کی صورت میں متغیرات منسوخ ہوجائیں۔

$$4x+y=15,19x+5y=30$$

4x اور 19x کو برابر بنانے کے لئے، تمام اصطلاحات کو پہلے قاعدے پر 19 سے اور تمام اصطلاحات کو دوسرے کی ہر ایک جانب 4 سے ضرب دیں۔

$$19\times 4x+19y=19\times 15,4\times 19x+4\times 5y=4\times 30$$

سادہ کریں۔

$$76x+19y=285,76x+20y=120$$

مساوی نشان کی ہر جانب ایک جیسے اصطلاحات کو تفریق کر کے 76x+20y=120 کو 76x+19y=285 سے منہا کریں۔

$$76x-76x+19y-20y=285-120$$

76x کو -76x میں شامل کریں۔ اصطلاحات 76x اور -76x قلم زد ہو گئے ہیں، جس کے نتیجے میں مساوات میں صرف ایک متغیر باقی ہے جے حل کیا جا سکتا ہے۔

$$19y-20y=285-120$$

19y کو -20y میں شامل کریں۔

$$-y=285-120$$

285 کو -120 میں شامل کریں۔

$$-y=165$$

-1 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$y=-165$$

19x+5y=30 میں y کے لئے -165 کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ x کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$19x+5\left(-165\right)=30$$

5 کو -165 مرتبہ ضرب دیں۔

$$19x-825=30$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 825 کو شامل کریں۔

$$19x=855$$

19 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$x=45$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$x=45,y=-165$$