{l}{4x+3y=10700}{3x+4y=10300} حل کریں

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = 10700 } \\ { 3 x + 4 y = 10300 } \end{array} \right.$$

x، y کے لئے حل کریں

$$x=1700$$

$$y=1300$$

متبادل استعمال کرنے کے اقدامات

متبادل کا استعمال کرتے ہوئے مساواتوں کے جوڑے کو حل کرنے کے لیئے، پہلے کسی ایک متغیر کے لیئے مساواتوں میں سے کسی ایک کو حل کریں۔ پھر اس متغیر کے لیئے نتائج کو کسی دوسری مساوات میں متبادل کریں۔

$$4x+3y=10700,3x+4y=10300$$

مساوی نشان کی بائیں ہاتھ کی جانب x کو اکیلا کر کے ان مساوات میں سے ایک کا انتخاب کریں اور اسے x کے لئے حل کریں۔

$$4x+3y=10700$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 3y منہا کریں۔

$$4x=-3y+10700$$

4 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+10700\right)$$

\frac{1}{4} کو -3y+10700 مرتبہ ضرب دیں۔

$$x=-\frac{3}{4}y+2675$$

دیگر مساوات 3x+4y=10300، میں x کے لئے-\frac{3y}{4}+2675 کو متبادل کریں۔

$$3\left(-\frac{3}{4}y+2675\right)+4y=10300$$

3 کو -\frac{3y}{4}+2675 مرتبہ ضرب دیں۔

$$-\frac{9}{4}y+8025+4y=10300$$

-\frac{9y}{4} کو 4y میں شامل کریں۔

$$\frac{7}{4}y+8025=10300$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 8025 منہا کریں۔

$$\frac{7}{4}y=2275$$

مساوات کی دونوں اطراف کو \frac{7}{4} سے تقسیم کریں، جو کہ دونوں اطراف کو کسر کے معکوس کو ضرب دینے کی طرح ہے۔

$$y=1300$$

x=-\frac{3}{4}y+2675 میں y کے لئے 1300 کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ x کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$x=-\frac{3}{4}\times 1300+2675$$

-\frac{3}{4} کو 1300 مرتبہ ضرب دیں۔

$$x=-975+2675$$

2675 کو -975 میں شامل کریں۔

$$x=1700$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$x=1700,y=1300$$

میٹرکس کا استعمال کرنے کے اقدامات

مساواتوں کو معیاری وضع میں ڈالیں اور پھر مساوات کے نظام کو حل کرنے کے لیے میٹرکس استعمال کریں۔

$$4x+3y=10700,3x+4y=10300$$

مساواتوں کو میٹرکس صورت میں لکھیں۔

$$\left(\begin{matrix}4&3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10700\\10300\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&3\\3&4\end{matrix}\right) کے معکوس میٹرکس سے بائیں جانب مساوات سے ضرب دیں۔

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10700\\10300\end{matrix}\right)$$

ایک میٹرکس کا حاصل ضرب اور اس کا معکوس شناختی میٹرکس ہے۔

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10700\\10300\end{matrix}\right)$$

مساوی نشان کے بائیں ہاتھ کی جانب میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10700\\10300\end{matrix}\right)$$

2\times 2 میٹرکس \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) کے لئے، معکوس میٹرکس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ہے، لہذا میٹرکس مساوات کو میٹرکس ضرب مسئلہ کے طور پر دوبارہ لکھا جا سکتا ہے۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4\times 4-3\times 3}&-\frac{3}{4\times 4-3\times 3}\\-\frac{3}{4\times 4-3\times 3}&\frac{4}{4\times 4-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10700\\10300\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7}&-\frac{3}{7}\\-\frac{3}{7}&\frac{4}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10700\\10300\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7}\times 10700-\frac{3}{7}\times 10300\\-\frac{3}{7}\times 10700+\frac{4}{7}\times 10300\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1700\\1300\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کے x اور y عناصر کو اخذ کریں۔

$$x=1700,y=1300$$

خاتمے کا استعمال کرنے کے اقدامات

خارجی طریقے سے حل کرنے کے لیئے، متغیرات میں سے کسی ایک کا عددی سر دونوں مساوات میں لازمی ایک جیسا ہونا چاہیئے تا کہ ایک متغیر دوسرے متغیر سے تفریق ہونے کی صورت میں متغیرات منسوخ ہوجائیں۔

$$4x+3y=10700,3x+4y=10300$$

4x اور 3x کو برابر بنانے کے لئے، تمام اصطلاحات کو پہلے قاعدے پر 3 سے اور تمام اصطلاحات کو دوسرے کی ہر ایک جانب 4 سے ضرب دیں۔

$$3\times 4x+3\times 3y=3\times 10700,4\times 3x+4\times 4y=4\times 10300$$

سادہ کریں۔

$$12x+9y=32100,12x+16y=41200$$

مساوی نشان کی ہر جانب ایک جیسے اصطلاحات کو تفریق کر کے 12x+16y=41200 کو 12x+9y=32100 سے منہا کریں۔

$$12x-12x+9y-16y=32100-41200$$

12x کو -12x میں شامل کریں۔ اصطلاحات 12x اور -12x قلم زد ہو گئے ہیں، جس کے نتیجے میں مساوات میں صرف ایک متغیر باقی ہے جے حل کیا جا سکتا ہے۔

$$9y-16y=32100-41200$$

9y کو -16y میں شامل کریں۔

$$-7y=32100-41200$$

32100 کو -41200 میں شامل کریں۔

$$-7y=-9100$$

-7 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$y=1300$$

3x+4y=10300 میں y کے لئے 1300 کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ x کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$3x+4\times 1300=10300$$

4 کو 1300 مرتبہ ضرب دیں۔

$$3x+5200=10300$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 5200 منہا کریں۔

$$3x=5100$$

3 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$x=1700$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$x=1700,y=1300$$