{l}{3x+5y=55000}{x+y=300} حل کریں

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 55000 } \\ { x + y = 300 } \end{array} \right.$$

x، y کے لئے حل کریں

$$x=-26750$$

$$y=27050$$

متبادل استعمال کرنے کے اقدامات

متبادل کا استعمال کرتے ہوئے مساواتوں کے جوڑے کو حل کرنے کے لیئے، پہلے کسی ایک متغیر کے لیئے مساواتوں میں سے کسی ایک کو حل کریں۔ پھر اس متغیر کے لیئے نتائج کو کسی دوسری مساوات میں متبادل کریں۔

$$3x+5y=55000,x+y=300$$

مساوی نشان کی بائیں ہاتھ کی جانب x کو اکیلا کر کے ان مساوات میں سے ایک کا انتخاب کریں اور اسے x کے لئے حل کریں۔

$$3x+5y=55000$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 5y منہا کریں۔

$$3x=-5y+55000$$

3 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+55000\right)$$

\frac{1}{3} کو -5y+55000 مرتبہ ضرب دیں۔

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{55000}{3}$$

دیگر مساوات x+y=300، میں x کے لئے\frac{-5y+55000}{3} کو متبادل کریں۔

$$-\frac{5}{3}y+\frac{55000}{3}+y=300$$

-\frac{5y}{3} کو y میں شامل کریں۔

$$-\frac{2}{3}y+\frac{55000}{3}=300$$

مساوات کے دونوں اطراف سے \frac{55000}{3} منہا کریں۔

$$-\frac{2}{3}y=-\frac{54100}{3}$$

مساوات کی دونوں اطراف کو -\frac{2}{3} سے تقسیم کریں، جو کہ دونوں اطراف کو کسر کے معکوس کو ضرب دینے کی طرح ہے۔

$$y=27050$$

x=-\frac{5}{3}y+\frac{55000}{3} میں y کے لئے 27050 کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ x کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$x=-\frac{5}{3}\times 27050+\frac{55000}{3}$$

-\frac{5}{3} کو 27050 مرتبہ ضرب دیں۔

$$x=\frac{-135250+55000}{3}$$

ایک مشترکہ ڈینومینیٹر کو ڈھونڈتے ہوئے اور نیومیریٹر کو شامل کر کے \frac{55000}{3} کو -\frac{135250}{3} میں شامل کریں۔ اور پھر کسر کو اگر ممکن ہو تو پست ترین اصطلاح تک گھٹائیں۔

$$x=-26750$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$x=-26750,y=27050$$

میٹرکس کا استعمال کرنے کے اقدامات

مساواتوں کو معیاری وضع میں ڈالیں اور پھر مساوات کے نظام کو حل کرنے کے لیے میٹرکس استعمال کریں۔

$$3x+5y=55000,x+y=300$$

مساواتوں کو میٹرکس صورت میں لکھیں۔

$$\left(\begin{matrix}3&5\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}55000\\300\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&5\\1&1\end{matrix}\right) کے معکوس میٹرکس سے بائیں جانب مساوات سے ضرب دیں۔

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}55000\\300\end{matrix}\right)$$

ایک میٹرکس کا حاصل ضرب اور اس کا معکوس شناختی میٹرکس ہے۔

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}55000\\300\end{matrix}\right)$$

مساوی نشان کے بائیں ہاتھ کی جانب میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}55000\\300\end{matrix}\right)$$

2\times 2 میٹرکس \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) کے لئے، معکوس میٹرکس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ہے، لہذا میٹرکس مساوات کو میٹرکس ضرب مسئلہ کے طور پر دوبارہ لکھا جا سکتا ہے۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-5}&-\frac{5}{3-5}\\-\frac{1}{3-5}&\frac{3}{3-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}55000\\300\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{5}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}55000\\300\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 55000+\frac{5}{2}\times 300\\\frac{1}{2}\times 55000-\frac{3}{2}\times 300\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-26750\\27050\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کے x اور y عناصر کو اخذ کریں۔

$$x=-26750,y=27050$$

خاتمے کا استعمال کرنے کے اقدامات

خارجی طریقے سے حل کرنے کے لیئے، متغیرات میں سے کسی ایک کا عددی سر دونوں مساوات میں لازمی ایک جیسا ہونا چاہیئے تا کہ ایک متغیر دوسرے متغیر سے تفریق ہونے کی صورت میں متغیرات منسوخ ہوجائیں۔

$$3x+5y=55000,x+y=300$$

3x اور x کو برابر بنانے کے لئے، تمام اصطلاحات کو پہلے قاعدے پر 1 سے اور تمام اصطلاحات کو دوسرے کی ہر ایک جانب 3 سے ضرب دیں۔

$$3x+5y=55000,3x+3y=3\times 300$$

سادہ کریں۔

$$3x+5y=55000,3x+3y=900$$

مساوی نشان کی ہر جانب ایک جیسے اصطلاحات کو تفریق کر کے 3x+3y=900 کو 3x+5y=55000 سے منہا کریں۔

$$3x-3x+5y-3y=55000-900$$

3x کو -3x میں شامل کریں۔ اصطلاحات 3x اور -3x قلم زد ہو گئے ہیں، جس کے نتیجے میں مساوات میں صرف ایک متغیر باقی ہے جے حل کیا جا سکتا ہے۔

$$5y-3y=55000-900$$

5y کو -3y میں شامل کریں۔

$$2y=55000-900$$

55000 کو -900 میں شامل کریں۔

$$2y=54100$$

2 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$y=27050$$

x+y=300 میں y کے لئے 27050 کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ x کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$x+27050=300$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 27050 منہا کریں۔

$$x=-26750$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$x=-26750,y=27050$$