{l}{3A-13c=-255}{31A-6c=-180} حل کریں

$$\left. \begin{array} { l } { 3 A - 13 c = - 255 } \\ { 31 A - 6 c = - 180 } \end{array} \right.$$

A، c کے لئے حل کریں

$$A = -\frac{162}{77} = -2\frac{8}{77} \approx -2.103896104$$

$$c = \frac{1473}{77} = 19\frac{10}{77} \approx 19.12987013$$

متبادل استعمال کرنے کے اقدامات

متبادل کا استعمال کرتے ہوئے مساواتوں کے جوڑے کو حل کرنے کے لیئے، پہلے کسی ایک متغیر کے لیئے مساواتوں میں سے کسی ایک کو حل کریں۔ پھر اس متغیر کے لیئے نتائج کو کسی دوسری مساوات میں متبادل کریں۔

$$3A-13c=-255,31A-6c=-180$$

مساوی نشان کی بائیں ہاتھ کی جانب A کو اکیلا کر کے ان مساوات میں سے ایک کا انتخاب کریں اور اسے A کے لئے حل کریں۔

$$3A-13c=-255$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 13c کو شامل کریں۔

$$3A=13c-255$$

3 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$A=\frac{1}{3}\left(13c-255\right)$$

\frac{1}{3} کو 13c-255 مرتبہ ضرب دیں۔

$$A=\frac{13}{3}c-85$$

دیگر مساوات 31A-6c=-180، میں A کے لئے\frac{13c}{3}-85 کو متبادل کریں۔

$$31\left(\frac{13}{3}c-85\right)-6c=-180$$

31 کو \frac{13c}{3}-85 مرتبہ ضرب دیں۔

$$\frac{403}{3}c-2635-6c=-180$$

\frac{403c}{3} کو -6c میں شامل کریں۔

$$\frac{385}{3}c-2635=-180$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 2635 کو شامل کریں۔

$$\frac{385}{3}c=2455$$

مساوات کی دونوں اطراف کو \frac{385}{3} سے تقسیم کریں، جو کہ دونوں اطراف کو کسر کے معکوس کو ضرب دینے کی طرح ہے۔

$$c=\frac{1473}{77}$$

A=\frac{13}{3}c-85 میں c کے لئے \frac{1473}{77} کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ A کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$A=\frac{13}{3}\times \frac{1473}{77}-85$$

نیومیریٹر کو نیومیریٹر بار اور ڈینومینیٹر کو ڈینومینیٹر بار ضرب دے کر \frac{1473}{77} کو \frac{13}{3} مرتبہ ضرب دیں۔ اور پھر کسر کو اگر ممکن ہو تو کم ترین اصطلاح تک کم کریں۔

$$A=\frac{6383}{77}-85$$

-85 کو \frac{6383}{77} میں شامل کریں۔

$$A=-\frac{162}{77}$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$A=-\frac{162}{77},c=\frac{1473}{77}$$

میٹرکس کا استعمال کرنے کے اقدامات

مساواتوں کو معیاری وضع میں ڈالیں اور پھر مساوات کے نظام کو حل کرنے کے لیے میٹرکس استعمال کریں۔

$$3A-13c=-255,31A-6c=-180$$

مساواتوں کو میٹرکس صورت میں لکھیں۔

$$\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right) کے معکوس میٹرکس سے بائیں جانب مساوات سے ضرب دیں۔

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

ایک میٹرکس کا حاصل ضرب اور اس کا معکوس شناختی میٹرکس ہے۔

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

مساوی نشان کے بائیں ہاتھ کی جانب میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

2\times 2 میٹرکس \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) کے لئے، معکوس میٹرکس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ہے، لہذا میٹرکس مساوات کو میٹرکس ضرب مسئلہ کے طور پر دوبارہ لکھا جا سکتا ہے۔

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}&-\frac{-13}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}\\-\frac{31}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}&\frac{3}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{385}&\frac{13}{385}\\-\frac{31}{385}&\frac{3}{385}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{385}\left(-255\right)+\frac{13}{385}\left(-180\right)\\-\frac{31}{385}\left(-255\right)+\frac{3}{385}\left(-180\right)\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{162}{77}\\\frac{1473}{77}\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کے A اور c عناصر کو اخذ کریں۔

$$A=-\frac{162}{77},c=\frac{1473}{77}$$

خاتمے کا استعمال کرنے کے اقدامات

خارجی طریقے سے حل کرنے کے لیئے، متغیرات میں سے کسی ایک کا عددی سر دونوں مساوات میں لازمی ایک جیسا ہونا چاہیئے تا کہ ایک متغیر دوسرے متغیر سے تفریق ہونے کی صورت میں متغیرات منسوخ ہوجائیں۔

$$3A-13c=-255,31A-6c=-180$$

3A اور 31A کو برابر بنانے کے لئے، تمام اصطلاحات کو پہلے قاعدے پر 31 سے اور تمام اصطلاحات کو دوسرے کی ہر ایک جانب 3 سے ضرب دیں۔

$$31\times 3A+31\left(-13\right)c=31\left(-255\right),3\times 31A+3\left(-6\right)c=3\left(-180\right)$$

سادہ کریں۔

$$93A-403c=-7905,93A-18c=-540$$

مساوی نشان کی ہر جانب ایک جیسے اصطلاحات کو تفریق کر کے 93A-18c=-540 کو 93A-403c=-7905 سے منہا کریں۔

$$93A-93A-403c+18c=-7905+540$$

93A کو -93A میں شامل کریں۔ اصطلاحات 93A اور -93A قلم زد ہو گئے ہیں، جس کے نتیجے میں مساوات میں صرف ایک متغیر باقی ہے جے حل کیا جا سکتا ہے۔

$$-403c+18c=-7905+540$$

-403c کو 18c میں شامل کریں۔

$$-385c=-7905+540$$

-7905 کو 540 میں شامل کریں۔

$$-385c=-7365$$

-385 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$c=\frac{1473}{77}$$

31A-6c=-180 میں c کے لئے \frac{1473}{77} کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ A کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$31A-6\times \frac{1473}{77}=-180$$

-6 کو \frac{1473}{77} مرتبہ ضرب دیں۔

$$31A-\frac{8838}{77}=-180$$

مساوات کے دونوں اطراف سے \frac{8838}{77} کو شامل کریں۔

$$31A=-\frac{5022}{77}$$

31 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$A=-\frac{162}{77}$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$A=-\frac{162}{77},c=\frac{1473}{77}$$