{l}{25c+22T=152000}{11c+12T=75000} حل کریں

$$\left. \begin{array} { l } { 25 c + 22 T = 152000 } \\ { 11 c + 12 T = 75000 } \end{array} \right.$$

c، T کے لئے حل کریں

$$c=3000$$

$$T=3500$$

متبادل استعمال کرنے کے اقدامات

متبادل کا استعمال کرتے ہوئے مساواتوں کے جوڑے کو حل کرنے کے لیئے، پہلے کسی ایک متغیر کے لیئے مساواتوں میں سے کسی ایک کو حل کریں۔ پھر اس متغیر کے لیئے نتائج کو کسی دوسری مساوات میں متبادل کریں۔

$$25c+22T=152000,11c+12T=75000$$

مساوی نشان کی بائیں ہاتھ کی جانب c کو اکیلا کر کے ان مساوات میں سے ایک کا انتخاب کریں اور اسے c کے لئے حل کریں۔

$$25c+22T=152000$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 22T منہا کریں۔

$$25c=-22T+152000$$

25 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$c=\frac{1}{25}\left(-22T+152000\right)$$

\frac{1}{25} کو -22T+152000 مرتبہ ضرب دیں۔

$$c=-\frac{22}{25}T+6080$$

دیگر مساوات 11c+12T=75000، میں c کے لئے-\frac{22T}{25}+6080 کو متبادل کریں۔

$$11\left(-\frac{22}{25}T+6080\right)+12T=75000$$

11 کو -\frac{22T}{25}+6080 مرتبہ ضرب دیں۔

$$-\frac{242}{25}T+66880+12T=75000$$

-\frac{242T}{25} کو 12T میں شامل کریں۔

$$\frac{58}{25}T+66880=75000$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 66880 منہا کریں۔

$$\frac{58}{25}T=8120$$

مساوات کی دونوں اطراف کو \frac{58}{25} سے تقسیم کریں، جو کہ دونوں اطراف کو کسر کے معکوس کو ضرب دینے کی طرح ہے۔

$$T=3500$$

c=-\frac{22}{25}T+6080 میں T کے لئے 3500 کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ c کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$c=-\frac{22}{25}\times 3500+6080$$

-\frac{22}{25} کو 3500 مرتبہ ضرب دیں۔

$$c=-3080+6080$$

6080 کو -3080 میں شامل کریں۔

$$c=3000$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$c=3000,T=3500$$

میٹرکس کا استعمال کرنے کے اقدامات

مساواتوں کو معیاری وضع میں ڈالیں اور پھر مساوات کے نظام کو حل کرنے کے لیے میٹرکس استعمال کریں۔

$$25c+22T=152000,11c+12T=75000$$

مساواتوں کو میٹرکس صورت میں لکھیں۔

$$\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right) کے معکوس میٹرکس سے بائیں جانب مساوات سے ضرب دیں۔

$$inverse(\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

ایک میٹرکس کا حاصل ضرب اور اس کا معکوس شناختی میٹرکس ہے۔

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

مساوی نشان کے بائیں ہاتھ کی جانب میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

2\times 2 میٹرکس \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) کے لئے، معکوس میٹرکس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ہے، لہذا میٹرکس مساوات کو میٹرکس ضرب مسئلہ کے طور پر دوبارہ لکھا جا سکتا ہے۔

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{25\times 12-22\times 11}&-\frac{22}{25\times 12-22\times 11}\\-\frac{11}{25\times 12-22\times 11}&\frac{25}{25\times 12-22\times 11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{29}&-\frac{11}{29}\\-\frac{11}{58}&\frac{25}{58}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{29}\times 152000-\frac{11}{29}\times 75000\\-\frac{11}{58}\times 152000+\frac{25}{58}\times 75000\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3000\\3500\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کے c اور T عناصر کو اخذ کریں۔

$$c=3000,T=3500$$

خاتمے کا استعمال کرنے کے اقدامات

خارجی طریقے سے حل کرنے کے لیئے، متغیرات میں سے کسی ایک کا عددی سر دونوں مساوات میں لازمی ایک جیسا ہونا چاہیئے تا کہ ایک متغیر دوسرے متغیر سے تفریق ہونے کی صورت میں متغیرات منسوخ ہوجائیں۔

$$25c+22T=152000,11c+12T=75000$$

25c اور 11c کو برابر بنانے کے لئے، تمام اصطلاحات کو پہلے قاعدے پر 11 سے اور تمام اصطلاحات کو دوسرے کی ہر ایک جانب 25 سے ضرب دیں۔

$$11\times 25c+11\times 22T=11\times 152000,25\times 11c+25\times 12T=25\times 75000$$

سادہ کریں۔

$$275c+242T=1672000,275c+300T=1875000$$

مساوی نشان کی ہر جانب ایک جیسے اصطلاحات کو تفریق کر کے 275c+300T=1875000 کو 275c+242T=1672000 سے منہا کریں۔

$$275c-275c+242T-300T=1672000-1875000$$

275c کو -275c میں شامل کریں۔ اصطلاحات 275c اور -275c قلم زد ہو گئے ہیں، جس کے نتیجے میں مساوات میں صرف ایک متغیر باقی ہے جے حل کیا جا سکتا ہے۔

$$242T-300T=1672000-1875000$$

242T کو -300T میں شامل کریں۔

$$-58T=1672000-1875000$$

1672000 کو -1875000 میں شامل کریں۔

$$-58T=-203000$$

-58 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$T=3500$$

11c+12T=75000 میں T کے لئے 3500 کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ c کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$11c+12\times 3500=75000$$

12 کو 3500 مرتبہ ضرب دیں۔

$$11c+42000=75000$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 42000 منہا کریں۔

$$11c=33000$$

11 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$c=3000$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$c=3000,T=3500$$