{l}{2x-5y=100}{4x+y=120} حل کریں

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 5 y = 100 } \\ { 4 x + y = 120 } \end{array} \right.$$

x، y کے لئے حل کریں

$$x = \frac{350}{11} = 31\frac{9}{11} \approx 31.818181818$$

$$y = -\frac{80}{11} = -7\frac{3}{11} \approx -7.272727273$$

متبادل استعمال کرنے کے اقدامات

متبادل کا استعمال کرتے ہوئے مساواتوں کے جوڑے کو حل کرنے کے لیئے، پہلے کسی ایک متغیر کے لیئے مساواتوں میں سے کسی ایک کو حل کریں۔ پھر اس متغیر کے لیئے نتائج کو کسی دوسری مساوات میں متبادل کریں۔

$$2x-5y=100,4x+y=120$$

مساوی نشان کی بائیں ہاتھ کی جانب x کو اکیلا کر کے ان مساوات میں سے ایک کا انتخاب کریں اور اسے x کے لئے حل کریں۔

$$2x-5y=100$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 5y کو شامل کریں۔

$$2x=5y+100$$

2 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$x=\frac{1}{2}\left(5y+100\right)$$

\frac{1}{2} کو 100+5y مرتبہ ضرب دیں۔

$$x=\frac{5}{2}y+50$$

دیگر مساوات 4x+y=120، میں x کے لئے50+\frac{5y}{2} کو متبادل کریں۔

$$4\left(\frac{5}{2}y+50\right)+y=120$$

4 کو 50+\frac{5y}{2} مرتبہ ضرب دیں۔

$$10y+200+y=120$$

10y کو y میں شامل کریں۔

$$11y+200=120$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 200 منہا کریں۔

$$11y=-80$$

11 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$y=-\frac{80}{11}$$

x=\frac{5}{2}y+50 میں y کے لئے -\frac{80}{11} کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ x کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$x=\frac{5}{2}\left(-\frac{80}{11}\right)+50$$

نیومیریٹر کو نیومیریٹر بار اور ڈینومینیٹر کو ڈینومینیٹر بار ضرب دے کر -\frac{80}{11} کو \frac{5}{2} مرتبہ ضرب دیں۔ اور پھر کسر کو اگر ممکن ہو تو کم ترین اصطلاح تک کم کریں۔

$$x=-\frac{200}{11}+50$$

50 کو -\frac{200}{11} میں شامل کریں۔

$$x=\frac{350}{11}$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$x=\frac{350}{11},y=-\frac{80}{11}$$

میٹرکس کا استعمال کرنے کے اقدامات

مساواتوں کو معیاری وضع میں ڈالیں اور پھر مساوات کے نظام کو حل کرنے کے لیے میٹرکس استعمال کریں۔

$$2x-5y=100,4x+y=120$$

مساواتوں کو میٹرکس صورت میں لکھیں۔

$$\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\120\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right) کے معکوس میٹرکس سے بائیں جانب مساوات سے ضرب دیں۔

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\120\end{matrix}\right)$$

ایک میٹرکس کا حاصل ضرب اور اس کا معکوس شناختی میٹرکس ہے۔

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\120\end{matrix}\right)$$

مساوی نشان کے بائیں ہاتھ کی جانب میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\120\end{matrix}\right)$$

2\times 2 میٹرکس کے لیے \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، الٹ میٹرکس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، تاکہ میٹرکس مساوات کو میٹرکس ضرب مسئلے کی طرح لکھا جا سکے۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-5\times 4\right)}&-\frac{-5}{2-\left(-5\times 4\right)}\\-\frac{4}{2-\left(-5\times 4\right)}&\frac{2}{2-\left(-5\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\120\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}&\frac{5}{22}\\-\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\120\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}\times 100+\frac{5}{22}\times 120\\-\frac{2}{11}\times 100+\frac{1}{11}\times 120\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{350}{11}\\-\frac{80}{11}\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کے x اور y عناصر کو اخذ کریں۔

$$x=\frac{350}{11},y=-\frac{80}{11}$$

خاتمے کا استعمال کرنے کے اقدامات

خارجی طریقے سے حل کرنے کے لیئے، متغیرات میں سے کسی ایک کا عددی سر دونوں مساوات میں لازمی ایک جیسا ہونا چاہیئے تا کہ ایک متغیر دوسرے متغیر سے تفریق ہونے کی صورت میں متغیرات منسوخ ہوجائیں۔

$$2x-5y=100,4x+y=120$$

2x اور 4x کو برابر بنانے کے لئے، تمام اصطلاحات کو پہلے قاعدے پر 4 سے اور تمام اصطلاحات کو دوسرے کی ہر ایک جانب 2 سے ضرب دیں۔

$$4\times 2x+4\left(-5\right)y=4\times 100,2\times 4x+2y=2\times 120$$

سادہ کریں۔

$$8x-20y=400,8x+2y=240$$

مساوی نشان کی ہر جانب ایک جیسے اصطلاحات کو تفریق کر کے 8x+2y=240 کو 8x-20y=400 سے منہا کریں۔

$$8x-8x-20y-2y=400-240$$

8x کو -8x میں شامل کریں۔ اصطلاحات 8x اور -8x قلم زد ہو گئے ہیں، جس کے نتیجے میں مساوات میں صرف ایک متغیر باقی ہے جے حل کیا جا سکتا ہے۔

$$-20y-2y=400-240$$

-20y کو -2y میں شامل کریں۔

$$-22y=400-240$$

400 کو -240 میں شامل کریں۔

$$-22y=160$$

-22 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$y=-\frac{80}{11}$$

4x+y=120 میں y کے لئے -\frac{80}{11} کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ x کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$4x-\frac{80}{11}=120$$

مساوات کے دونوں اطراف سے \frac{80}{11} کو شامل کریں۔

$$4x=\frac{1400}{11}$$

4 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$x=\frac{350}{11}$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$x=\frac{350}{11},y=-\frac{80}{11}$$