{l}{2x-1y=120}{1x-1y=250} حل کریں

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 1 y = 120 } \\ { 1 x - 1 y = 250 } \end{array} \right.$$

x، y کے لئے حل کریں

$$x=-130$$

$$y=-380$$

متبادل استعمال کرنے کے اقدامات

متبادل کا استعمال کرتے ہوئے مساواتوں کے جوڑے کو حل کرنے کے لیئے، پہلے کسی ایک متغیر کے لیئے مساواتوں میں سے کسی ایک کو حل کریں۔ پھر اس متغیر کے لیئے نتائج کو کسی دوسری مساوات میں متبادل کریں۔

$$2x-y=120,x-y=250$$

مساوی نشان کی بائیں ہاتھ کی جانب x کو اکیلا کر کے ان مساوات میں سے ایک کا انتخاب کریں اور اسے x کے لئے حل کریں۔

$$2x-y=120$$

مساوات کے دونوں اطراف سے y کو شامل کریں۔

$$2x=y+120$$

2 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$x=\frac{1}{2}\left(y+120\right)$$

\frac{1}{2} کو y+120 مرتبہ ضرب دیں۔

$$x=\frac{1}{2}y+60$$

دیگر مساوات x-y=250، میں x کے لئے\frac{y}{2}+60 کو متبادل کریں۔

$$\frac{1}{2}y+60-y=250$$

\frac{y}{2} کو -y میں شامل کریں۔

$$-\frac{1}{2}y+60=250$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 60 منہا کریں۔

$$-\frac{1}{2}y=190$$

-2 سے دونوں اطراف کو ضرب دیں۔

$$y=-380$$

x=\frac{1}{2}y+60 میں y کے لئے -380 کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ x کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$x=\frac{1}{2}\left(-380\right)+60$$

\frac{1}{2} کو -380 مرتبہ ضرب دیں۔

$$x=-190+60$$

60 کو -190 میں شامل کریں۔

$$x=-130$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$x=-130,y=-380$$

میٹرکس کا استعمال کرنے کے اقدامات

مساواتوں کو معیاری وضع میں ڈالیں اور پھر مساوات کے نظام کو حل کرنے کے لیے میٹرکس استعمال کریں۔

$$2x-y=120,x-y=250$$

مساواتوں کو میٹرکس صورت میں لکھیں۔

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}120\\250\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-1\\1&-1\end{matrix}\right) کے معکوس میٹرکس سے بائیں جانب مساوات سے ضرب دیں۔

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}120\\250\end{matrix}\right)$$

ایک میٹرکس کا حاصل ضرب اور اس کا معکوس شناختی میٹرکس ہے۔

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}120\\250\end{matrix}\right)$$

مساوی نشان کے بائیں ہاتھ کی جانب میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}120\\250\end{matrix}\right)$$

2\times 2 میٹرکس \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) کے لئے، معکوس میٹرکس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ہے، لہذا میٹرکس مساوات کو میٹرکس ضرب مسئلہ کے طور پر دوبارہ لکھا جا سکتا ہے۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{2\left(-1\right)-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-\left(-1\right)}&\frac{2}{2\left(-1\right)-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}120\\250\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}120\\250\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}120-250\\120-2\times 250\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-130\\-380\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کے x اور y عناصر کو اخذ کریں۔

$$x=-130,y=-380$$

خاتمے کا استعمال کرنے کے اقدامات

خارجی طریقے سے حل کرنے کے لیئے، متغیرات میں سے کسی ایک کا عددی سر دونوں مساوات میں لازمی ایک جیسا ہونا چاہیئے تا کہ ایک متغیر دوسرے متغیر سے تفریق ہونے کی صورت میں متغیرات منسوخ ہوجائیں۔

$$2x-y=120,x-y=250$$

مساوی نشان کی ہر جانب ایک جیسے اصطلاحات کو تفریق کر کے x-y=250 کو 2x-y=120 سے منہا کریں۔

$$2x-x-y+y=120-250$$

-y کو y میں شامل کریں۔ اصطلاحات -y اور y قلم زد ہو گئے ہیں، جس کے نتیجے میں مساوات میں صرف ایک متغیر باقی ہے جے حل کیا جا سکتا ہے۔

$$2x-x=120-250$$

2x کو -x میں شامل کریں۔

$$x=120-250$$

120 کو -250 میں شامل کریں۔

$$x=-130$$

x-y=250 میں x کے لئے -130 کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ y کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$-130-y=250$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 130 کو شامل کریں۔

$$-y=380$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$x=-130,y=-380$$