{l}{2x+5y=259}{199x-2y=1127} حل کریں

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 259 } \\ { 199 x - 2 y = 1127 } \end{array} \right.$$

x، y کے لئے حل کریں

$$x = \frac{2051}{333} = 6\frac{53}{333} \approx 6.159159159$$

$$y = \frac{16429}{333} = 49\frac{112}{333} \approx 49.336336336$$

متبادل استعمال کرنے کے اقدامات

متبادل کا استعمال کرتے ہوئے مساواتوں کے جوڑے کو حل کرنے کے لیئے، پہلے کسی ایک متغیر کے لیئے مساواتوں میں سے کسی ایک کو حل کریں۔ پھر اس متغیر کے لیئے نتائج کو کسی دوسری مساوات میں متبادل کریں۔

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

مساوی نشان کی بائیں ہاتھ کی جانب x کو اکیلا کر کے ان مساوات میں سے ایک کا انتخاب کریں اور اسے x کے لئے حل کریں۔

$$2x+5y=259$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 5y منہا کریں۔

$$2x=-5y+259$$

2 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+259\right)$$

\frac{1}{2} کو -5y+259 مرتبہ ضرب دیں۔

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2}$$

دیگر مساوات 199x-2y=1127، میں x کے لئے\frac{-5y+259}{2} کو متبادل کریں۔

$$199\left(-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2}\right)-2y=1127$$

199 کو \frac{-5y+259}{2} مرتبہ ضرب دیں۔

$$-\frac{995}{2}y+\frac{51541}{2}-2y=1127$$

-\frac{995y}{2} کو -2y میں شامل کریں۔

$$-\frac{999}{2}y+\frac{51541}{2}=1127$$

مساوات کے دونوں اطراف سے \frac{51541}{2} منہا کریں۔

$$-\frac{999}{2}y=-\frac{49287}{2}$$

مساوات کی دونوں اطراف کو -\frac{999}{2} سے تقسیم کریں، جو کہ دونوں اطراف کو کسر کے معکوس کو ضرب دینے کی طرح ہے۔

$$y=\frac{16429}{333}$$

x=-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2} میں y کے لئے \frac{16429}{333} کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ x کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$x=-\frac{5}{2}\times \frac{16429}{333}+\frac{259}{2}$$

نیومیریٹر کو نیومیریٹر بار اور ڈینومینیٹر کو ڈینومینیٹر بار ضرب دے کر \frac{16429}{333} کو -\frac{5}{2} مرتبہ ضرب دیں۔ اور پھر کسر کو اگر ممکن ہو تو کم ترین اصطلاح تک کم کریں۔

$$x=-\frac{82145}{666}+\frac{259}{2}$$

ایک مشترکہ ڈینومینیٹر کو ڈھونڈتے ہوئے اور نیومیریٹر کو شامل کر کے \frac{259}{2} کو -\frac{82145}{666} میں شامل کریں۔ اور پھر کسر کو اگر ممکن ہو تو پست ترین اصطلاح تک گھٹائیں۔

$$x=\frac{2051}{333}$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$

میٹرکس کا استعمال کرنے کے اقدامات

مساواتوں کو معیاری وضع میں ڈالیں اور پھر مساوات کے نظام کو حل کرنے کے لیے میٹرکس استعمال کریں۔

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

مساواتوں کو میٹرکس صورت میں لکھیں۔

$$\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right) کے معکوس میٹرکس سے بائیں جانب مساوات سے ضرب دیں۔

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

ایک میٹرکس کا حاصل ضرب اور اس کا معکوس شناختی میٹرکس ہے۔

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

مساوی نشان کے بائیں ہاتھ کی جانب میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

2\times 2 میٹرکس \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) کے لئے، معکوس میٹرکس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ہے، لہذا میٹرکس مساوات کو میٹرکس ضرب مسئلہ کے طور پر دوبارہ لکھا جا سکتا ہے۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 199}&-\frac{5}{2\left(-2\right)-5\times 199}\\-\frac{199}{2\left(-2\right)-5\times 199}&\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 199}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{999}&\frac{5}{999}\\\frac{199}{999}&-\frac{2}{999}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{999}\times 259+\frac{5}{999}\times 1127\\\frac{199}{999}\times 259-\frac{2}{999}\times 1127\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2051}{333}\\\frac{16429}{333}\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کے x اور y عناصر کو اخذ کریں۔

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$

خاتمے کا استعمال کرنے کے اقدامات

خارجی طریقے سے حل کرنے کے لیئے، متغیرات میں سے کسی ایک کا عددی سر دونوں مساوات میں لازمی ایک جیسا ہونا چاہیئے تا کہ ایک متغیر دوسرے متغیر سے تفریق ہونے کی صورت میں متغیرات منسوخ ہوجائیں۔

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

2x اور 199x کو برابر بنانے کے لئے، تمام اصطلاحات کو پہلے قاعدے پر 199 سے اور تمام اصطلاحات کو دوسرے کی ہر ایک جانب 2 سے ضرب دیں۔

$$199\times 2x+199\times 5y=199\times 259,2\times 199x+2\left(-2\right)y=2\times 1127$$

سادہ کریں۔

$$398x+995y=51541,398x-4y=2254$$

مساوی نشان کی ہر جانب ایک جیسے اصطلاحات کو تفریق کر کے 398x-4y=2254 کو 398x+995y=51541 سے منہا کریں۔

$$398x-398x+995y+4y=51541-2254$$

398x کو -398x میں شامل کریں۔ اصطلاحات 398x اور -398x قلم زد ہو گئے ہیں، جس کے نتیجے میں مساوات میں صرف ایک متغیر باقی ہے جے حل کیا جا سکتا ہے۔

$$995y+4y=51541-2254$$

995y کو 4y میں شامل کریں۔

$$999y=51541-2254$$

51541 کو -2254 میں شامل کریں۔

$$999y=49287$$

999 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$y=\frac{16429}{333}$$

199x-2y=1127 میں y کے لئے \frac{16429}{333} کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ x کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$199x-2\times \frac{16429}{333}=1127$$

-2 کو \frac{16429}{333} مرتبہ ضرب دیں۔

$$199x-\frac{32858}{333}=1127$$

مساوات کے دونوں اطراف سے \frac{32858}{333} کو شامل کریں۔

$$199x=\frac{408149}{333}$$

199 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$x=\frac{2051}{333}$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$