{l}{2bx+ay=2ab}{bx-ay=4ab} حل کریں

$$\left. \begin{array} { l } { 2 b x + a y = 2 a b } \\ { b x - a y = 4 a b } \end{array} \right.$$

x، y کے لئے حل کریں (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=2a\text{, }y=-2b\text{, }&\text{unconditionally}\\x=0\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&a=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=0\text{, }&b=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&b=0\text{ and }a=0\end{matrix}\right.$$

متبادل استعمال کرنے کے اقدامات

متبادل کا استعمال کرتے ہوئے مساواتوں کے جوڑے کو حل کرنے کے لیئے، پہلے کسی ایک متغیر کے لیئے مساواتوں میں سے کسی ایک کو حل کریں۔ پھر اس متغیر کے لیئے نتائج کو کسی دوسری مساوات میں متبادل کریں۔

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

مساوی نشان کی بائیں ہاتھ کی جانب x کو اکیلا کر کے ان مساوات میں سے ایک کا انتخاب کریں اور اسے x کے لئے حل کریں۔

$$2bx+ay=2ab$$

مساوات کے دونوں اطراف سے ay منہا کریں۔

$$2bx=\left(-a\right)y+2ab$$

2b سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$x=\frac{1}{2b}\left(\left(-a\right)y+2ab\right)$$

\frac{1}{2b} کو a\left(-y+2b\right) مرتبہ ضرب دیں۔

$$x=\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a$$

دیگر مساوات bx+\left(-a\right)y=4ab، میں x کے لئےa-\frac{ay}{2b} کو متبادل کریں۔

$$b\left(\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a\right)+\left(-a\right)y=4ab$$

b کو a-\frac{ay}{2b} مرتبہ ضرب دیں۔

$$\left(-\frac{a}{2}\right)y+ab+\left(-a\right)y=4ab$$

-\frac{ay}{2} کو -ay میں شامل کریں۔

$$\left(-\frac{3a}{2}\right)y+ab=4ab$$

مساوات کے دونوں اطراف سے ba منہا کریں۔

$$\left(-\frac{3a}{2}\right)y=3ab$$

-\frac{3a}{2} سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$y=-2b$$

x=\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a میں y کے لئے -2b کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ x کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$x=\left(-\frac{a}{2b}\right)\left(-2b\right)+a$$

-\frac{a}{2b} کو -2b مرتبہ ضرب دیں۔

$$x=a+a$$

a کو a میں شامل کریں۔

$$x=2a$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$x=2a,y=-2b$$

میٹرکس کا استعمال کرنے کے اقدامات

مساواتوں کو معیاری وضع میں ڈالیں اور پھر مساوات کے نظام کو حل کرنے کے لیے میٹرکس استعمال کریں۔

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

مساواتوں کو میٹرکس صورت میں لکھیں۔

$$\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right) کے معکوس میٹرکس سے بائیں جانب مساوات سے ضرب دیں۔

$$inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

ایک میٹرکس کا حاصل ضرب اور اس کا معکوس شناختی میٹرکس ہے۔

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

مساوی نشان کے بائیں ہاتھ کی جانب میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

2\times 2 میٹرکس \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) کے لئے، معکوس میٹرکس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ہے، لہذا میٹرکس مساوات کو میٹرکس ضرب مسئلہ کے طور پر دوبارہ لکھا جا سکتا ہے۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{a}{2b\left(-a\right)-ab}&-\frac{a}{2b\left(-a\right)-ab}\\-\frac{b}{2b\left(-a\right)-ab}&\frac{2b}{2b\left(-a\right)-ab}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3b}&\frac{1}{3b}\\\frac{1}{3a}&-\frac{2}{3a}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3b}\times 2ab+\frac{1}{3b}\times 4ab\\\frac{1}{3a}\times 2ab+\left(-\frac{2}{3a}\right)\times 4ab\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2a\\-2b\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کے x اور y عناصر کو اخذ کریں۔

$$x=2a,y=-2b$$

خاتمے کا استعمال کرنے کے اقدامات

خارجی طریقے سے حل کرنے کے لیئے، متغیرات میں سے کسی ایک کا عددی سر دونوں مساوات میں لازمی ایک جیسا ہونا چاہیئے تا کہ ایک متغیر دوسرے متغیر سے تفریق ہونے کی صورت میں متغیرات منسوخ ہوجائیں۔

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

2bx اور bx کو برابر بنانے کے لئے، تمام اصطلاحات کو پہلے قاعدے پر b سے اور تمام اصطلاحات کو دوسرے کی ہر ایک جانب 2b سے ضرب دیں۔

$$b\times 2bx+bay=b\times 2ab,2bbx+2b\left(-a\right)y=2b\times 4ab$$

سادہ کریں۔

$$2b^{2}x+aby=2ab^{2},2b^{2}x+\left(-2ab\right)y=8ab^{2}$$

مساوی نشان کی ہر جانب ایک جیسے اصطلاحات کو تفریق کر کے 2b^{2}x+\left(-2ab\right)y=8ab^{2} کو 2b^{2}x+aby=2ab^{2} سے منہا کریں۔

$$2b^{2}x+\left(-2b^{2}\right)x+aby+2aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

2b^{2}x کو -2b^{2}x میں شامل کریں۔ اصطلاحات 2b^{2}x اور -2b^{2}x قلم زد ہو گئے ہیں، جس کے نتیجے میں مساوات میں صرف ایک متغیر باقی ہے جے حل کیا جا سکتا ہے۔

$$aby+2aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

bay کو 2bay میں شامل کریں۔

$$3aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

2ab^{2} کو -8ab^{2} میں شامل کریں۔

$$3aby=-6ab^{2}$$

3ba سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$y=-2b$$

bx+\left(-a\right)y=4ab میں y کے لئے -2b کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ x کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$bx+\left(-a\right)\left(-2b\right)=4ab$$

-a کو -2b مرتبہ ضرب دیں۔

$$bx+2ab=4ab$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 2ba منہا کریں۔

$$bx=2ab$$

b سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$x=2a$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$x=2a,y=-2b$$

x، y کے لئے حل کریں

$$\left\{\begin{matrix}\\x=2a\text{, }y=-2b\text{, }&\text{unconditionally}\\x=0\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&a=0\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=0\text{, }&b=0\\x\in \mathrm{R}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&b=0\text{ and }a=0\end{matrix}\right.$$

متبادل استعمال کرنے کے اقدامات

متبادل کا استعمال کرتے ہوئے مساواتوں کے جوڑے کو حل کرنے کے لیئے، پہلے کسی ایک متغیر کے لیئے مساواتوں میں سے کسی ایک کو حل کریں۔ پھر اس متغیر کے لیئے نتائج کو کسی دوسری مساوات میں متبادل کریں۔

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

مساوی نشان کی بائیں ہاتھ کی جانب x کو اکیلا کر کے ان مساوات میں سے ایک کا انتخاب کریں اور اسے x کے لئے حل کریں۔

$$2bx+ay=2ab$$

مساوات کے دونوں اطراف سے ay منہا کریں۔

$$2bx=\left(-a\right)y+2ab$$

2b سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$x=\frac{1}{2b}\left(\left(-a\right)y+2ab\right)$$

\frac{1}{2b} کو a\left(-y+2b\right) مرتبہ ضرب دیں۔

$$x=\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a$$

دیگر مساوات bx+\left(-a\right)y=4ab، میں x کے لئےa-\frac{ay}{2b} کو متبادل کریں۔

$$b\left(\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a\right)+\left(-a\right)y=4ab$$

b کو a-\frac{ay}{2b} مرتبہ ضرب دیں۔

$$\left(-\frac{a}{2}\right)y+ab+\left(-a\right)y=4ab$$

-\frac{ay}{2} کو -ay میں شامل کریں۔

$$\left(-\frac{3a}{2}\right)y+ab=4ab$$

مساوات کے دونوں اطراف سے ba منہا کریں۔

$$\left(-\frac{3a}{2}\right)y=3ab$$

-\frac{3a}{2} سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$y=-2b$$

x=\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a میں y کے لئے -2b کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ x کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$x=\left(-\frac{a}{2b}\right)\left(-2b\right)+a$$

-\frac{a}{2b} کو -2b مرتبہ ضرب دیں۔

$$x=a+a$$

a کو a میں شامل کریں۔

$$x=2a$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$x=2a,y=-2b$$

میٹرکس کا استعمال کرنے کے اقدامات

مساواتوں کو معیاری وضع میں ڈالیں اور پھر مساوات کے نظام کو حل کرنے کے لیے میٹرکس استعمال کریں۔

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

مساواتوں کو میٹرکس صورت میں لکھیں۔

$$\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right) کے معکوس میٹرکس سے بائیں جانب مساوات سے ضرب دیں۔

$$inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

ایک میٹرکس کا حاصل ضرب اور اس کا معکوس شناختی میٹرکس ہے۔

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

مساوی نشان کے بائیں ہاتھ کی جانب میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

2\times 2 میٹرکس \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) کے لئے، معکوس میٹرکس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ہے، لہذا میٹرکس مساوات کو میٹرکس ضرب مسئلہ کے طور پر دوبارہ لکھا جا سکتا ہے۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{a}{2b\left(-a\right)-ab}&-\frac{a}{2b\left(-a\right)-ab}\\-\frac{b}{2b\left(-a\right)-ab}&\frac{2b}{2b\left(-a\right)-ab}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3b}&\frac{1}{3b}\\\frac{1}{3a}&-\frac{2}{3a}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3b}\times 2ab+\frac{1}{3b}\times 4ab\\\frac{1}{3a}\times 2ab+\left(-\frac{2}{3a}\right)\times 4ab\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2a\\-2b\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کے x اور y عناصر کو اخذ کریں۔

$$x=2a,y=-2b$$

خاتمے کا استعمال کرنے کے اقدامات

خارجی طریقے سے حل کرنے کے لیئے، متغیرات میں سے کسی ایک کا عددی سر دونوں مساوات میں لازمی ایک جیسا ہونا چاہیئے تا کہ ایک متغیر دوسرے متغیر سے تفریق ہونے کی صورت میں متغیرات منسوخ ہوجائیں۔

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

2bx اور bx کو برابر بنانے کے لئے، تمام اصطلاحات کو پہلے قاعدے پر b سے اور تمام اصطلاحات کو دوسرے کی ہر ایک جانب 2b سے ضرب دیں۔

$$b\times 2bx+bay=b\times 2ab,2bbx+2b\left(-a\right)y=2b\times 4ab$$

سادہ کریں۔

$$2b^{2}x+aby=2ab^{2},2b^{2}x+\left(-2ab\right)y=8ab^{2}$$

مساوی نشان کی ہر جانب ایک جیسے اصطلاحات کو تفریق کر کے 2b^{2}x+\left(-2ab\right)y=8ab^{2} کو 2b^{2}x+aby=2ab^{2} سے منہا کریں۔

$$2b^{2}x+\left(-2b^{2}\right)x+aby+2aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

2b^{2}x کو -2b^{2}x میں شامل کریں۔ اصطلاحات 2b^{2}x اور -2b^{2}x قلم زد ہو گئے ہیں، جس کے نتیجے میں مساوات میں صرف ایک متغیر باقی ہے جے حل کیا جا سکتا ہے۔

$$aby+2aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

bay کو 2bay میں شامل کریں۔

$$3aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

2ab^{2} کو -8ab^{2} میں شامل کریں۔

$$3aby=-6ab^{2}$$

3ba سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$y=-2b$$

bx+\left(-a\right)y=4ab میں y کے لئے -2b کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ x کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$bx+\left(-a\right)\left(-2b\right)=4ab$$

-a کو -2b مرتبہ ضرب دیں۔

$$bx+2ab=4ab$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 2ba منہا کریں۔

$$bx=2ab$$

b سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$x=2a$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$x=2a,y=-2b$$