{l}{0.041x_{3}+0.16x_{2}=0.9}{0.041x_{2}-0.002x_{3}=0.117} حل کریں

$$\left. \begin{array} { l } { 0.041 x _ { 3 } + 0.16 x _ { 2 } = 0.9 } \\ { 0.041 x _ { 2 } - 0.002 x _ { 3 } = 0.117 } \end{array} \right.$$

x_3، x_2 کے لئے حل کریں

$$x_{3} = \frac{6060}{667} = 9\frac{57}{667} \approx 9.085457271$$

$$x_{2} = \frac{2199}{667} = 3\frac{198}{667} \approx 3.296851574$$

متبادل استعمال کرنے کے اقدامات

متبادل کا استعمال کرتے ہوئے مساواتوں کے جوڑے کو حل کرنے کے لیئے، پہلے کسی ایک متغیر کے لیئے مساواتوں میں سے کسی ایک کو حل کریں۔ پھر اس متغیر کے لیئے نتائج کو کسی دوسری مساوات میں متبادل کریں۔

$$0.041x_{3}+0.16x_{2}=0.9,-0.002x_{3}+0.041x_{2}=0.117$$

مساوی نشان کی بائیں ہاتھ کی جانب x_{3} کو اکیلا کر کے ان مساوات میں سے ایک کا انتخاب کریں اور اسے x_{3} کے لئے حل کریں۔

$$0.041x_{3}+0.16x_{2}=0.9$$

مساوات کے دونوں اطراف سے \frac{4x_{2}}{25} منہا کریں۔

$$0.041x_{3}=-0.16x_{2}+0.9$$

مساوات کی دونوں اطراف کو 0.041 سے تقسیم کریں، جو کہ دونوں اطراف کو کسر کے معکوس کو ضرب دینے کی طرح ہے۔

$$x_{3}=\frac{1000}{41}\left(-0.16x_{2}+0.9\right)$$

\frac{1000}{41} کو -\frac{4x_{2}}{25}+0.9 مرتبہ ضرب دیں۔

$$x_{3}=-\frac{160}{41}x_{2}+\frac{900}{41}$$

دیگر مساوات -0.002x_{3}+0.041x_{2}=0.117، میں x_{3} کے لئے\frac{-160x_{2}+900}{41} کو متبادل کریں۔

$$-0.002\left(-\frac{160}{41}x_{2}+\frac{900}{41}\right)+0.041x_{2}=0.117$$

-0.002 کو \frac{-160x_{2}+900}{41} مرتبہ ضرب دیں۔

$$\frac{8}{1025}x_{2}-\frac{9}{205}+0.041x_{2}=0.117$$

\frac{8x_{2}}{1025} کو \frac{41x_{2}}{1000} میں شامل کریں۔

$$\frac{2001}{41000}x_{2}-\frac{9}{205}=0.117$$

مساوات کے دونوں اطراف سے \frac{9}{205} کو شامل کریں۔

$$\frac{2001}{41000}x_{2}=\frac{6597}{41000}$$

مساوات کی دونوں اطراف کو \frac{2001}{41000} سے تقسیم کریں، جو کہ دونوں اطراف کو کسر کے معکوس کو ضرب دینے کی طرح ہے۔

$$x_{2}=\frac{2199}{667}$$

x_{3}=-\frac{160}{41}x_{2}+\frac{900}{41} میں x_{2} کے لئے \frac{2199}{667} کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ x_{3} کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$x_{3}=-\frac{160}{41}\times \frac{2199}{667}+\frac{900}{41}$$

نیومیریٹر کو نیومیریٹر بار اور ڈینومینیٹر کو ڈینومینیٹر بار ضرب دے کر \frac{2199}{667} کو -\frac{160}{41} مرتبہ ضرب دیں۔ اور پھر کسر کو اگر ممکن ہو تو کم ترین اصطلاح تک کم کریں۔

$$x_{3}=-\frac{351840}{27347}+\frac{900}{41}$$

ایک مشترکہ ڈینومینیٹر کو ڈھونڈتے ہوئے اور نیومیریٹر کو شامل کر کے \frac{900}{41} کو -\frac{351840}{27347} میں شامل کریں۔ اور پھر کسر کو اگر ممکن ہو تو پست ترین اصطلاح تک گھٹائیں۔

$$x_{3}=\frac{6060}{667}$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$x_{3}=\frac{6060}{667},x_{2}=\frac{2199}{667}$$

میٹرکس کا استعمال کرنے کے اقدامات

مساواتوں کو معیاری وضع میں ڈالیں اور پھر مساوات کے نظام کو حل کرنے کے لیے میٹرکس استعمال کریں۔

$$0.041x_{3}+0.16x_{2}=0.9,-0.002x_{3}+0.041x_{2}=0.117$$

مساواتوں کو میٹرکس صورت میں لکھیں۔

$$\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.9\\0.117\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right) کے معکوس میٹرکس سے بائیں جانب مساوات سے ضرب دیں۔

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.9\\0.117\end{matrix}\right)$$

ایک میٹرکس کا حاصل ضرب اور اس کا معکوس شناختی میٹرکس ہے۔

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.9\\0.117\end{matrix}\right)$$

مساوی نشان کے بائیں ہاتھ کی جانب میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.9\\0.117\end{matrix}\right)$$

2\times 2 میٹرکس \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) کے لئے، معکوس میٹرکس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ہے، لہذا میٹرکس مساوات کو میٹرکس ضرب مسئلہ کے طور پر دوبارہ لکھا جا سکتا ہے۔

$$\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.041}{0.041\times 0.041-0.16\left(-0.002\right)}&-\frac{0.16}{0.041\times 0.041-0.16\left(-0.002\right)}\\-\frac{-0.002}{0.041\times 0.041-0.16\left(-0.002\right)}&\frac{0.041}{0.041\times 0.041-0.16\left(-0.002\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0.9\\0.117\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{41000}{2001}&-\frac{160000}{2001}\\\frac{2000}{2001}&\frac{41000}{2001}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0.9\\0.117\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{41000}{2001}\times 0.9-\frac{160000}{2001}\times 0.117\\\frac{2000}{2001}\times 0.9+\frac{41000}{2001}\times 0.117\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6060}{667}\\\frac{2199}{667}\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کے x_{3} اور x_{2} عناصر کو اخذ کریں۔

$$x_{3}=\frac{6060}{667},x_{2}=\frac{2199}{667}$$

خاتمے کا استعمال کرنے کے اقدامات

خارجی طریقے سے حل کرنے کے لیئے، متغیرات میں سے کسی ایک کا عددی سر دونوں مساوات میں لازمی ایک جیسا ہونا چاہیئے تا کہ ایک متغیر دوسرے متغیر سے تفریق ہونے کی صورت میں متغیرات منسوخ ہوجائیں۔

$$0.041x_{3}+0.16x_{2}=0.9,-0.002x_{3}+0.041x_{2}=0.117$$

\frac{41x_{3}}{1000} اور -\frac{x_{3}}{500} کو برابر بنانے کے لئے، تمام اصطلاحات کو پہلے قاعدے پر -0.002 سے اور تمام اصطلاحات کو دوسرے کی ہر ایک جانب 0.041 سے ضرب دیں۔

$$-0.002\times 0.041x_{3}-0.002\times 0.16x_{2}=-0.002\times 0.9,0.041\left(-0.002\right)x_{3}+0.041\times 0.041x_{2}=0.041\times 0.117$$

سادہ کریں۔

$$-0.000082x_{3}-0.00032x_{2}=-0.0018,-0.000082x_{3}+0.001681x_{2}=0.004797$$

مساوی نشان کی ہر جانب ایک جیسے اصطلاحات کو تفریق کر کے -0.000082x_{3}+0.001681x_{2}=0.004797 کو -0.000082x_{3}-0.00032x_{2}=-0.0018 سے منہا کریں۔

$$-0.000082x_{3}+0.000082x_{3}-0.00032x_{2}-0.001681x_{2}=-0.0018-0.004797$$

-\frac{41x_{3}}{500000} کو \frac{41x_{3}}{500000} میں شامل کریں۔ اصطلاحات -\frac{41x_{3}}{500000} اور \frac{41x_{3}}{500000} قلم زد ہو گئے ہیں، جس کے نتیجے میں مساوات میں صرف ایک متغیر باقی ہے جے حل کیا جا سکتا ہے۔

$$-0.00032x_{2}-0.001681x_{2}=-0.0018-0.004797$$

-\frac{x_{2}}{3125} کو -\frac{1681x_{2}}{1000000} میں شامل کریں۔

$$-0.002001x_{2}=-0.0018-0.004797$$

ایک مشترکہ ڈینومینیٹر کو ڈھونڈتے ہوئے اور نیومیریٹر کو شامل کر کے -0.0018 کو -0.004797 میں شامل کریں۔ اور پھر کسر کو اگر ممکن ہو تو پست ترین اصطلاح تک گھٹائیں۔

$$-0.002001x_{2}=-0.006597$$

مساوات کی دونوں اطراف کو -0.002001 سے تقسیم کریں، جو کہ دونوں اطراف کو کسر کے معکوس کو ضرب دینے کی طرح ہے۔

$$x_{2}=\frac{2199}{667}$$

-0.002x_{3}+0.041x_{2}=0.117 میں x_{2} کے لئے \frac{2199}{667} کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ x_{3} کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$-0.002x_{3}+0.041\times \frac{2199}{667}=0.117$$

نیومیریٹر کو نیومیریٹر بار اور ڈینومینیٹر کو ڈینومینیٹر بار ضرب دے کر \frac{2199}{667} کو 0.041 مرتبہ ضرب دیں۔ اور پھر کسر کو اگر ممکن ہو تو کم ترین اصطلاح تک کم کریں۔

$$-0.002x_{3}+\frac{90159}{667000}=0.117$$

مساوات کے دونوں اطراف سے \frac{90159}{667000} منہا کریں۔

$$-0.002x_{3}=-\frac{303}{16675}$$

-500 سے دونوں اطراف کو ضرب دیں۔

$$x_{3}=\frac{6060}{667}$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$x_{3}=\frac{6060}{667},x_{2}=\frac{2199}{667}$$