{l}{-3x+15y=59}{3x+4y=17} حل کریں

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x + 15 y = 59 } \\ { 3 x + 4 y = 17 } \end{array} \right.$$

x، y کے لئے حل کریں

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$y=4$$

متبادل استعمال کرنے کے اقدامات

متبادل کا استعمال کرتے ہوئے مساواتوں کے جوڑے کو حل کرنے کے لیئے، پہلے کسی ایک متغیر کے لیئے مساواتوں میں سے کسی ایک کو حل کریں۔ پھر اس متغیر کے لیئے نتائج کو کسی دوسری مساوات میں متبادل کریں۔

$$-3x+15y=59,3x+4y=17$$

مساوی نشان کی بائیں ہاتھ کی جانب x کو اکیلا کر کے ان مساوات میں سے ایک کا انتخاب کریں اور اسے x کے لئے حل کریں۔

$$-3x+15y=59$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 15y منہا کریں۔

$$-3x=-15y+59$$

-3 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$x=-\frac{1}{3}\left(-15y+59\right)$$

-\frac{1}{3} کو -15y+59 مرتبہ ضرب دیں۔

$$x=5y-\frac{59}{3}$$

دیگر مساوات 3x+4y=17، میں x کے لئے5y-\frac{59}{3} کو متبادل کریں۔

$$3\left(5y-\frac{59}{3}\right)+4y=17$$

3 کو 5y-\frac{59}{3} مرتبہ ضرب دیں۔

$$15y-59+4y=17$$

15y کو 4y میں شامل کریں۔

$$19y-59=17$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 59 کو شامل کریں۔

$$19y=76$$

19 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$y=4$$

x=5y-\frac{59}{3} میں y کے لئے 4 کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ x کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$x=5\times 4-\frac{59}{3}$$

5 کو 4 مرتبہ ضرب دیں۔

$$x=20-\frac{59}{3}$$

-\frac{59}{3} کو 20 میں شامل کریں۔

$$x=\frac{1}{3}$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$x=\frac{1}{3},y=4$$

میٹرکس کا استعمال کرنے کے اقدامات

مساواتوں کو معیاری وضع میں ڈالیں اور پھر مساوات کے نظام کو حل کرنے کے لیے میٹرکس استعمال کریں۔

$$-3x+15y=59,3x+4y=17$$

مساواتوں کو میٹرکس صورت میں لکھیں۔

$$\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}59\\17\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right) کے معکوس میٹرکس سے بائیں جانب مساوات سے ضرب دیں۔

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\17\end{matrix}\right)$$

ایک میٹرکس کا حاصل ضرب اور اس کا معکوس شناختی میٹرکس ہے۔

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\17\end{matrix}\right)$$

مساوی نشان کے بائیں ہاتھ کی جانب میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\17\end{matrix}\right)$$

2\times 2 میٹرکس \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) کے لئے، معکوس میٹرکس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ہے، لہذا میٹرکس مساوات کو میٹرکس ضرب مسئلہ کے طور پر دوبارہ لکھا جا سکتا ہے۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{-3\times 4-15\times 3}&-\frac{15}{-3\times 4-15\times 3}\\-\frac{3}{-3\times 4-15\times 3}&-\frac{3}{-3\times 4-15\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}59\\17\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{57}&\frac{5}{19}\\\frac{1}{19}&\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}59\\17\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{57}\times 59+\frac{5}{19}\times 17\\\frac{1}{19}\times 59+\frac{1}{19}\times 17\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\4\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کے x اور y عناصر کو اخذ کریں۔

$$x=\frac{1}{3},y=4$$

خاتمے کا استعمال کرنے کے اقدامات

خارجی طریقے سے حل کرنے کے لیئے، متغیرات میں سے کسی ایک کا عددی سر دونوں مساوات میں لازمی ایک جیسا ہونا چاہیئے تا کہ ایک متغیر دوسرے متغیر سے تفریق ہونے کی صورت میں متغیرات منسوخ ہوجائیں۔

$$-3x+15y=59,3x+4y=17$$

-3x اور 3x کو برابر بنانے کے لئے، تمام اصطلاحات کو پہلے قاعدے پر 3 سے اور تمام اصطلاحات کو دوسرے کی ہر ایک جانب -3 سے ضرب دیں۔

$$3\left(-3\right)x+3\times 15y=3\times 59,-3\times 3x-3\times 4y=-3\times 17$$

سادہ کریں۔

$$-9x+45y=177,-9x-12y=-51$$

مساوی نشان کی ہر جانب ایک جیسے اصطلاحات کو تفریق کر کے -9x-12y=-51 کو -9x+45y=177 سے منہا کریں۔

$$-9x+9x+45y+12y=177+51$$

-9x کو 9x میں شامل کریں۔ اصطلاحات -9x اور 9x قلم زد ہو گئے ہیں، جس کے نتیجے میں مساوات میں صرف ایک متغیر باقی ہے جے حل کیا جا سکتا ہے۔

$$45y+12y=177+51$$

45y کو 12y میں شامل کریں۔

$$57y=177+51$$

177 کو 51 میں شامل کریں۔

$$57y=228$$

57 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$y=4$$

3x+4y=17 میں y کے لئے 4 کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ x کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$3x+4\times 4=17$$

4 کو 4 مرتبہ ضرب دیں۔

$$3x+16=17$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 16 منہا کریں۔

$$3x=1$$

3 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$x=\frac{1}{3}$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$x=\frac{1}{3},y=4$$