{l}{-10x+20y=460}{30x+60y=1620} حل کریں

$$\left. \begin{array} { l } { - 10 x + 20 y = 460 } \\ { 30 x + 60 y = 1620 } \end{array} \right.$$

x، y کے لئے حل کریں

$$x=4$$

$$y=25$$

متبادل استعمال کرنے کے اقدامات

متبادل کا استعمال کرتے ہوئے مساواتوں کے جوڑے کو حل کرنے کے لیئے، پہلے کسی ایک متغیر کے لیئے مساواتوں میں سے کسی ایک کو حل کریں۔ پھر اس متغیر کے لیئے نتائج کو کسی دوسری مساوات میں متبادل کریں۔

$$-10x+20y=460,30x+60y=1620$$

مساوی نشان کی بائیں ہاتھ کی جانب x کو اکیلا کر کے ان مساوات میں سے ایک کا انتخاب کریں اور اسے x کے لئے حل کریں۔

$$-10x+20y=460$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 20y منہا کریں۔

$$-10x=-20y+460$$

-10 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$x=-\frac{1}{10}\left(-20y+460\right)$$

-\frac{1}{10} کو -20y+460 مرتبہ ضرب دیں۔

$$x=2y-46$$

دیگر مساوات 30x+60y=1620، میں x کے لئے-46+2y کو متبادل کریں۔

$$30\left(2y-46\right)+60y=1620$$

30 کو -46+2y مرتبہ ضرب دیں۔

$$60y-1380+60y=1620$$

60y کو 60y میں شامل کریں۔

$$120y-1380=1620$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 1380 کو شامل کریں۔

$$120y=3000$$

120 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$y=25$$

x=2y-46 میں y کے لئے 25 کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ x کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$x=2\times 25-46$$

2 کو 25 مرتبہ ضرب دیں۔

$$x=50-46$$

-46 کو 50 میں شامل کریں۔

$$x=4$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$x=4,y=25$$

میٹرکس کا استعمال کرنے کے اقدامات

مساواتوں کو معیاری وضع میں ڈالیں اور پھر مساوات کے نظام کو حل کرنے کے لیے میٹرکس استعمال کریں۔

$$-10x+20y=460,30x+60y=1620$$

مساواتوں کو میٹرکس صورت میں لکھیں۔

$$\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right) کے معکوس میٹرکس سے بائیں جانب مساوات سے ضرب دیں۔

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

ایک میٹرکس کا حاصل ضرب اور اس کا معکوس شناختی میٹرکس ہے۔

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

مساوی نشان کے بائیں ہاتھ کی جانب میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

2\times 2 میٹرکس \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) کے لئے، معکوس میٹرکس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ہے، لہذا میٹرکس مساوات کو میٹرکس ضرب مسئلہ کے طور پر دوبارہ لکھا جا سکتا ہے۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{60}{-10\times 60-20\times 30}&-\frac{20}{-10\times 60-20\times 30}\\-\frac{30}{-10\times 60-20\times 30}&-\frac{10}{-10\times 60-20\times 30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{20}&\frac{1}{60}\\\frac{1}{40}&\frac{1}{120}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{20}\times 460+\frac{1}{60}\times 1620\\\frac{1}{40}\times 460+\frac{1}{120}\times 1620\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\25\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کے x اور y عناصر کو اخذ کریں۔

$$x=4,y=25$$

خاتمے کا استعمال کرنے کے اقدامات

خارجی طریقے سے حل کرنے کے لیئے، متغیرات میں سے کسی ایک کا عددی سر دونوں مساوات میں لازمی ایک جیسا ہونا چاہیئے تا کہ ایک متغیر دوسرے متغیر سے تفریق ہونے کی صورت میں متغیرات منسوخ ہوجائیں۔

$$-10x+20y=460,30x+60y=1620$$

-10x اور 30x کو برابر بنانے کے لئے، تمام اصطلاحات کو پہلے قاعدے پر 30 سے اور تمام اصطلاحات کو دوسرے کی ہر ایک جانب -10 سے ضرب دیں۔

$$30\left(-10\right)x+30\times 20y=30\times 460,-10\times 30x-10\times 60y=-10\times 1620$$

سادہ کریں۔

$$-300x+600y=13800,-300x-600y=-16200$$

مساوی نشان کی ہر جانب ایک جیسے اصطلاحات کو تفریق کر کے -300x-600y=-16200 کو -300x+600y=13800 سے منہا کریں۔

$$-300x+300x+600y+600y=13800+16200$$

-300x کو 300x میں شامل کریں۔ اصطلاحات -300x اور 300x قلم زد ہو گئے ہیں، جس کے نتیجے میں مساوات میں صرف ایک متغیر باقی ہے جے حل کیا جا سکتا ہے۔

$$600y+600y=13800+16200$$

600y کو 600y میں شامل کریں۔

$$1200y=13800+16200$$

13800 کو 16200 میں شامل کریں۔

$$1200y=30000$$

1200 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$y=25$$

30x+60y=1620 میں y کے لئے 25 کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ x کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$30x+60\times 25=1620$$

60 کو 25 مرتبہ ضرب دیں۔

$$30x+1500=1620$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 1500 منہا کریں۔

$$30x=120$$

30 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$x=4$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$x=4,y=25$$