{l}{x/3+y/5=7}{x/6-2y/5=-4} حل کریں

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 5 } = 7 } \\ { \frac { x } { 6 } - \frac { 2 y } { 5 } = - 4 } \end{array} \right.$$

x، y کے لئے حل کریں

$$x=12$$

$$y=15$$

متبادل استعمال کرنے کے اقدامات

پہلی مساوات پر غور کریں۔ مساوات کی دونوں اطراف کو 15 سے ضرب دیں، 3,5 کا سب کم سے کم مشترک حاصل ضرب۔

$$5x+3y=105$$

دوسری مساوات پر غور کریں۔ مساوات کی دونوں اطراف کو 30 سے ضرب دیں، 6,5 کا سب کم سے کم مشترک حاصل ضرب۔

$$5x-6\times 2y=-120$$

-12 حاصل کرنے کے لئے -6 اور 2 کو ضرب دیں۔

$$5x-12y=-120$$

متبادل کا استعمال کرتے ہوئے مساواتوں کے جوڑے کو حل کرنے کے لیئے، پہلے کسی ایک متغیر کے لیئے مساواتوں میں سے کسی ایک کو حل کریں۔ پھر اس متغیر کے لیئے نتائج کو کسی دوسری مساوات میں متبادل کریں۔

$$5x+3y=105,5x-12y=-120$$

مساوی نشان کی بائیں ہاتھ کی جانب x کو اکیلا کر کے ان مساوات میں سے ایک کا انتخاب کریں اور اسے x کے لئے حل کریں۔

$$5x+3y=105$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 3y منہا کریں۔

$$5x=-3y+105$$

5 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+105\right)$$

\frac{1}{5} کو -3y+105 مرتبہ ضرب دیں۔

$$x=-\frac{3}{5}y+21$$

دیگر مساوات 5x-12y=-120، میں x کے لئے-\frac{3y}{5}+21 کو متبادل کریں۔

$$5\left(-\frac{3}{5}y+21\right)-12y=-120$$

5 کو -\frac{3y}{5}+21 مرتبہ ضرب دیں۔

$$-3y+105-12y=-120$$

-3y کو -12y میں شامل کریں۔

$$-15y+105=-120$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 105 منہا کریں۔

$$-15y=-225$$

-15 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$y=15$$

x=-\frac{3}{5}y+21 میں y کے لئے 15 کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ x کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$x=-\frac{3}{5}\times 15+21$$

-\frac{3}{5} کو 15 مرتبہ ضرب دیں۔

$$x=-9+21$$

21 کو -9 میں شامل کریں۔

$$x=12$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$x=12,y=15$$

میٹرکس کا استعمال کرنے کے اقدامات

پہلی مساوات پر غور کریں۔ مساوات کی دونوں اطراف کو 15 سے ضرب دیں، 3,5 کا سب کم سے کم مشترک حاصل ضرب۔

$$5x+3y=105$$

دوسری مساوات پر غور کریں۔ مساوات کی دونوں اطراف کو 30 سے ضرب دیں، 6,5 کا سب کم سے کم مشترک حاصل ضرب۔

$$5x-6\times 2y=-120$$

-12 حاصل کرنے کے لئے -6 اور 2 کو ضرب دیں۔

$$5x-12y=-120$$

مساواتوں کو معیاری وضع میں ڈالیں اور پھر مساوات کے نظام کو حل کرنے کے لیے میٹرکس استعمال کریں۔

$$5x+3y=105,5x-12y=-120$$

مساواتوں کو میٹرکس صورت میں لکھیں۔

$$\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right) کے معکوس میٹرکس سے بائیں جانب مساوات سے ضرب دیں۔

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

ایک میٹرکس کا حاصل ضرب اور اس کا معکوس شناختی میٹرکس ہے۔

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

مساوی نشان کے بائیں ہاتھ کی جانب میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

2\times 2 میٹرکس \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) کے لئے، معکوس میٹرکس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ہے، لہذا میٹرکس مساوات کو میٹرکس ضرب مسئلہ کے طور پر دوبارہ لکھا جا سکتا ہے۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{5\left(-12\right)-3\times 5}&-\frac{3}{5\left(-12\right)-3\times 5}\\-\frac{5}{5\left(-12\right)-3\times 5}&\frac{5}{5\left(-12\right)-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}&\frac{1}{25}\\\frac{1}{15}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}\times 105+\frac{1}{25}\left(-120\right)\\\frac{1}{15}\times 105-\frac{1}{15}\left(-120\right)\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\15\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کے x اور y عناصر کو اخذ کریں۔

$$x=12,y=15$$

خاتمے کا استعمال کرنے کے اقدامات

پہلی مساوات پر غور کریں۔ مساوات کی دونوں اطراف کو 15 سے ضرب دیں، 3,5 کا سب کم سے کم مشترک حاصل ضرب۔

$$5x+3y=105$$

دوسری مساوات پر غور کریں۔ مساوات کی دونوں اطراف کو 30 سے ضرب دیں، 6,5 کا سب کم سے کم مشترک حاصل ضرب۔

$$5x-6\times 2y=-120$$

-12 حاصل کرنے کے لئے -6 اور 2 کو ضرب دیں۔

$$5x-12y=-120$$

خارجی طریقے سے حل کرنے کے لیئے، متغیرات میں سے کسی ایک کا عددی سر دونوں مساوات میں لازمی ایک جیسا ہونا چاہیئے تا کہ ایک متغیر دوسرے متغیر سے تفریق ہونے کی صورت میں متغیرات منسوخ ہوجائیں۔

$$5x+3y=105,5x-12y=-120$$

مساوی نشان کی ہر جانب ایک جیسے اصطلاحات کو تفریق کر کے 5x-12y=-120 کو 5x+3y=105 سے منہا کریں۔

$$5x-5x+3y+12y=105+120$$

5x کو -5x میں شامل کریں۔ اصطلاحات 5x اور -5x قلم زد ہو گئے ہیں، جس کے نتیجے میں مساوات میں صرف ایک متغیر باقی ہے جے حل کیا جا سکتا ہے۔

$$3y+12y=105+120$$

3y کو 12y میں شامل کریں۔

$$15y=105+120$$

105 کو 120 میں شامل کریں۔

$$15y=225$$

15 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$y=15$$

5x-12y=-120 میں y کے لئے 15 کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ x کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$5x-12\times 15=-120$$

-12 کو 15 مرتبہ ضرب دیں۔

$$5x-180=-120$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 180 کو شامل کریں۔

$$5x=60$$

5 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$x=12$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$x=12,y=15$$