{l}{frac{30-v_{0}}{60}+frac{v_{1}-3v_{0}}{30}-frac{v_{0}}{29}=0}{-frac{30-v_{0}}{60}+3-frac{v_{1}}{60}=0} حل کریں

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 30 - v _ { 0 } } { 60 } + \frac { v _ { 1 } - 3 v _ { 0 } } { 30 } - \frac { v _ { 0 } } { 29 } = 0 } \\ { - \frac { 30 - v _ { 0 } } { 60 } + 3 - \frac { v _ { 1 } } { 60 } = 0 } \end{array} \right.$$

v_0، v_1 کے لئے حل کریں

$$v_{0} = \frac{1914}{41} = 46\frac{28}{41} \approx 46.682926829$$

$$v_{1} = \frac{8064}{41} = 196\frac{28}{41} \approx 196.682926829$$

متبادل استعمال کرنے کے اقدامات

پہلی مساوات پر غور کریں۔ مساوات کی دونوں اطراف کو 1740 سے ضرب دیں، 60,30,29 کا سب کم سے کم مشترک حاصل ضرب۔

$$29\left(30-v_{0}\right)+58\left(v_{1}-3v_{0}\right)-60v_{0}=0$$

29 کو ایک سے 30-v_{0} ضرب دینے کے لیئے منقسم خاصیت کا استعمال کریں۔

$$870-29v_{0}+58\left(v_{1}-3v_{0}\right)-60v_{0}=0$$

58 کو ایک سے v_{1}-3v_{0} ضرب دینے کے لیئے منقسم خاصیت کا استعمال کریں۔

$$870-29v_{0}+58v_{1}-174v_{0}-60v_{0}=0$$

-203v_{0} حاصل کرنے کے لئے -29v_{0} اور -174v_{0} کو یکجا کریں۔

$$870-203v_{0}+58v_{1}-60v_{0}=0$$

-263v_{0} حاصل کرنے کے لئے -203v_{0} اور -60v_{0} کو یکجا کریں۔

$$870-263v_{0}+58v_{1}=0$$

870 کو دونوں طرف سے منہا کریں۔ کوئی بھی چیز صفر میں سے تفریق ہوکر اپنا نفی دیتی ہے۔

$$-263v_{0}+58v_{1}=-870$$

دوسری مساوات پر غور کریں۔ 60 سے مساوات کی دونوں اطراف کو ضرب دیں۔

$$-\left(30-v_{0}\right)+180-v_{1}=0$$

30-v_{0} کا متضاد تلاش کرنے کے لئے، ہر اصطلاح کا متضاد تلاش کریں۔

$$-30+v_{0}+180-v_{1}=0$$

150 حاصل کرنے کے لئے -30 اور 180 شامل کریں۔

$$150+v_{0}-v_{1}=0$$

150 کو دونوں طرف سے منہا کریں۔ کوئی بھی چیز صفر میں سے تفریق ہوکر اپنا نفی دیتی ہے۔

$$v_{0}-v_{1}=-150$$

متبادل کا استعمال کرتے ہوئے مساواتوں کے جوڑے کو حل کرنے کے لیئے، پہلے کسی ایک متغیر کے لیئے مساواتوں میں سے کسی ایک کو حل کریں۔ پھر اس متغیر کے لیئے نتائج کو کسی دوسری مساوات میں متبادل کریں۔

$$-263v_{0}+58v_{1}=-870,v_{0}-v_{1}=-150$$

مساوی نشان کی بائیں ہاتھ کی جانب v_{0} کو اکیلا کر کے ان مساوات میں سے ایک کا انتخاب کریں اور اسے v_{0} کے لئے حل کریں۔

$$-263v_{0}+58v_{1}=-870$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 58v_{1} منہا کریں۔

$$-263v_{0}=-58v_{1}-870$$

-263 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$v_{0}=-\frac{1}{263}\left(-58v_{1}-870\right)$$

-\frac{1}{263} کو -58v_{1}-870 مرتبہ ضرب دیں۔

$$v_{0}=\frac{58}{263}v_{1}+\frac{870}{263}$$

دیگر مساوات v_{0}-v_{1}=-150، میں v_{0} کے لئے\frac{870+58v_{1}}{263} کو متبادل کریں۔

$$\frac{58}{263}v_{1}+\frac{870}{263}-v_{1}=-150$$

\frac{58v_{1}}{263} کو -v_{1} میں شامل کریں۔

$$-\frac{205}{263}v_{1}+\frac{870}{263}=-150$$

مساوات کے دونوں اطراف سے \frac{870}{263} منہا کریں۔

$$-\frac{205}{263}v_{1}=-\frac{40320}{263}$$

مساوات کی دونوں اطراف کو -\frac{205}{263} سے تقسیم کریں، جو کہ دونوں اطراف کو کسر کے معکوس کو ضرب دینے کی طرح ہے۔

$$v_{1}=\frac{8064}{41}$$

v_{0}=\frac{58}{263}v_{1}+\frac{870}{263} میں v_{1} کے لئے \frac{8064}{41} کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ v_{0} کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$v_{0}=\frac{58}{263}\times \frac{8064}{41}+\frac{870}{263}$$

نیومیریٹر کو نیومیریٹر بار اور ڈینومینیٹر کو ڈینومینیٹر بار ضرب دے کر \frac{8064}{41} کو \frac{58}{263} مرتبہ ضرب دیں۔ اور پھر کسر کو اگر ممکن ہو تو کم ترین اصطلاح تک کم کریں۔

$$v_{0}=\frac{467712}{10783}+\frac{870}{263}$$

ایک مشترکہ ڈینومینیٹر کو ڈھونڈتے ہوئے اور نیومیریٹر کو شامل کر کے \frac{870}{263} کو \frac{467712}{10783} میں شامل کریں۔ اور پھر کسر کو اگر ممکن ہو تو پست ترین اصطلاح تک گھٹائیں۔

$$v_{0}=\frac{1914}{41}$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$v_{0}=\frac{1914}{41},v_{1}=\frac{8064}{41}$$

میٹرکس کا استعمال کرنے کے اقدامات

پہلی مساوات پر غور کریں۔ مساوات کی دونوں اطراف کو 1740 سے ضرب دیں، 60,30,29 کا سب کم سے کم مشترک حاصل ضرب۔

$$29\left(30-v_{0}\right)+58\left(v_{1}-3v_{0}\right)-60v_{0}=0$$

29 کو ایک سے 30-v_{0} ضرب دینے کے لیئے منقسم خاصیت کا استعمال کریں۔

$$870-29v_{0}+58\left(v_{1}-3v_{0}\right)-60v_{0}=0$$

58 کو ایک سے v_{1}-3v_{0} ضرب دینے کے لیئے منقسم خاصیت کا استعمال کریں۔

$$870-29v_{0}+58v_{1}-174v_{0}-60v_{0}=0$$

-203v_{0} حاصل کرنے کے لئے -29v_{0} اور -174v_{0} کو یکجا کریں۔

$$870-203v_{0}+58v_{1}-60v_{0}=0$$

-263v_{0} حاصل کرنے کے لئے -203v_{0} اور -60v_{0} کو یکجا کریں۔

$$870-263v_{0}+58v_{1}=0$$

870 کو دونوں طرف سے منہا کریں۔ کوئی بھی چیز صفر میں سے تفریق ہوکر اپنا نفی دیتی ہے۔

$$-263v_{0}+58v_{1}=-870$$

دوسری مساوات پر غور کریں۔ 60 سے مساوات کی دونوں اطراف کو ضرب دیں۔

$$-\left(30-v_{0}\right)+180-v_{1}=0$$

30-v_{0} کا متضاد تلاش کرنے کے لئے، ہر اصطلاح کا متضاد تلاش کریں۔

$$-30+v_{0}+180-v_{1}=0$$

150 حاصل کرنے کے لئے -30 اور 180 شامل کریں۔

$$150+v_{0}-v_{1}=0$$

150 کو دونوں طرف سے منہا کریں۔ کوئی بھی چیز صفر میں سے تفریق ہوکر اپنا نفی دیتی ہے۔

$$v_{0}-v_{1}=-150$$

مساواتوں کو معیاری وضع میں ڈالیں اور پھر مساوات کے نظام کو حل کرنے کے لیے میٹرکس استعمال کریں۔

$$-263v_{0}+58v_{1}=-870,v_{0}-v_{1}=-150$$

مساواتوں کو میٹرکس صورت میں لکھیں۔

$$\left(\begin{matrix}-263&58\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}v_{0}\\v_{1}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-870\\-150\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-263&58\\1&-1\end{matrix}\right) کے معکوس میٹرکس سے بائیں جانب مساوات سے ضرب دیں۔

$$inverse(\left(\begin{matrix}-263&58\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-263&58\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}v_{0}\\v_{1}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-263&58\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-870\\-150\end{matrix}\right)$$

ایک میٹرکس کا حاصل ضرب اور اس کا معکوس شناختی میٹرکس ہے۔

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}v_{0}\\v_{1}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-263&58\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-870\\-150\end{matrix}\right)$$

مساوی نشان کے بائیں ہاتھ کی جانب میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}v_{0}\\v_{1}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-263&58\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-870\\-150\end{matrix}\right)$$

2\times 2 میٹرکس \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) کے لئے، معکوس میٹرکس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ہے، لہذا میٹرکس مساوات کو میٹرکس ضرب مسئلہ کے طور پر دوبارہ لکھا جا سکتا ہے۔

$$\left(\begin{matrix}v_{0}\\v_{1}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-263\left(-1\right)-58}&-\frac{58}{-263\left(-1\right)-58}\\-\frac{1}{-263\left(-1\right)-58}&-\frac{263}{-263\left(-1\right)-58}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-870\\-150\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}v_{0}\\v_{1}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{205}&-\frac{58}{205}\\-\frac{1}{205}&-\frac{263}{205}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-870\\-150\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}v_{0}\\v_{1}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{205}\left(-870\right)-\frac{58}{205}\left(-150\right)\\-\frac{1}{205}\left(-870\right)-\frac{263}{205}\left(-150\right)\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}v_{0}\\v_{1}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1914}{41}\\\frac{8064}{41}\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کے v_{0} اور v_{1} عناصر کو اخذ کریں۔

$$v_{0}=\frac{1914}{41},v_{1}=\frac{8064}{41}$$

خاتمے کا استعمال کرنے کے اقدامات

پہلی مساوات پر غور کریں۔ مساوات کی دونوں اطراف کو 1740 سے ضرب دیں، 60,30,29 کا سب کم سے کم مشترک حاصل ضرب۔

$$29\left(30-v_{0}\right)+58\left(v_{1}-3v_{0}\right)-60v_{0}=0$$

29 کو ایک سے 30-v_{0} ضرب دینے کے لیئے منقسم خاصیت کا استعمال کریں۔

$$870-29v_{0}+58\left(v_{1}-3v_{0}\right)-60v_{0}=0$$

58 کو ایک سے v_{1}-3v_{0} ضرب دینے کے لیئے منقسم خاصیت کا استعمال کریں۔

$$870-29v_{0}+58v_{1}-174v_{0}-60v_{0}=0$$

-203v_{0} حاصل کرنے کے لئے -29v_{0} اور -174v_{0} کو یکجا کریں۔

$$870-203v_{0}+58v_{1}-60v_{0}=0$$

-263v_{0} حاصل کرنے کے لئے -203v_{0} اور -60v_{0} کو یکجا کریں۔

$$870-263v_{0}+58v_{1}=0$$

870 کو دونوں طرف سے منہا کریں۔ کوئی بھی چیز صفر میں سے تفریق ہوکر اپنا نفی دیتی ہے۔

$$-263v_{0}+58v_{1}=-870$$

دوسری مساوات پر غور کریں۔ 60 سے مساوات کی دونوں اطراف کو ضرب دیں۔

$$-\left(30-v_{0}\right)+180-v_{1}=0$$

30-v_{0} کا متضاد تلاش کرنے کے لئے، ہر اصطلاح کا متضاد تلاش کریں۔

$$-30+v_{0}+180-v_{1}=0$$

150 حاصل کرنے کے لئے -30 اور 180 شامل کریں۔

$$150+v_{0}-v_{1}=0$$

150 کو دونوں طرف سے منہا کریں۔ کوئی بھی چیز صفر میں سے تفریق ہوکر اپنا نفی دیتی ہے۔

$$v_{0}-v_{1}=-150$$

خارجی طریقے سے حل کرنے کے لیئے، متغیرات میں سے کسی ایک کا عددی سر دونوں مساوات میں لازمی ایک جیسا ہونا چاہیئے تا کہ ایک متغیر دوسرے متغیر سے تفریق ہونے کی صورت میں متغیرات منسوخ ہوجائیں۔

$$-263v_{0}+58v_{1}=-870,v_{0}-v_{1}=-150$$

-263v_{0} اور v_{0} کو برابر بنانے کے لئے، تمام اصطلاحات کو پہلے قاعدے پر 1 سے اور تمام اصطلاحات کو دوسرے کی ہر ایک جانب -263 سے ضرب دیں۔

$$-263v_{0}+58v_{1}=-870,-263v_{0}-263\left(-1\right)v_{1}=-263\left(-150\right)$$

سادہ کریں۔

$$-263v_{0}+58v_{1}=-870,-263v_{0}+263v_{1}=39450$$

مساوی نشان کی ہر جانب ایک جیسے اصطلاحات کو تفریق کر کے -263v_{0}+263v_{1}=39450 کو -263v_{0}+58v_{1}=-870 سے منہا کریں۔

$$-263v_{0}+263v_{0}+58v_{1}-263v_{1}=-870-39450$$

-263v_{0} کو 263v_{0} میں شامل کریں۔ اصطلاحات -263v_{0} اور 263v_{0} قلم زد ہو گئے ہیں، جس کے نتیجے میں مساوات میں صرف ایک متغیر باقی ہے جے حل کیا جا سکتا ہے۔

$$58v_{1}-263v_{1}=-870-39450$$

58v_{1} کو -263v_{1} میں شامل کریں۔

$$-205v_{1}=-870-39450$$

-870 کو -39450 میں شامل کریں۔

$$-205v_{1}=-40320$$

-205 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$v_{1}=\frac{8064}{41}$$

v_{0}-v_{1}=-150 میں v_{1} کے لئے \frac{8064}{41} کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ v_{0} کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$v_{0}-\frac{8064}{41}=-150$$

مساوات کے دونوں اطراف سے \frac{8064}{41} کو شامل کریں۔

$$v_{0}=\frac{1914}{41}$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$v_{0}=\frac{1914}{41},v_{1}=\frac{8064}{41}$$