{l}{2/3A+B=400}{A+4/5B=460} حل کریں

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 2 } { 3 } A + B = 400 } \\ { A + \frac { 4 } { 5 } B = 460 } \end{array} \right.$$

A، B کے لئے حل کریں

$$A=300$$

$$B=200$$

متبادل استعمال کرنے کے اقدامات

متبادل کا استعمال کرتے ہوئے مساواتوں کے جوڑے کو حل کرنے کے لیئے، پہلے کسی ایک متغیر کے لیئے مساواتوں میں سے کسی ایک کو حل کریں۔ پھر اس متغیر کے لیئے نتائج کو کسی دوسری مساوات میں متبادل کریں۔

$$\frac{2}{3}A+B=400,A+\frac{4}{5}B=460$$

مساوی نشان کی بائیں ہاتھ کی جانب A کو اکیلا کر کے ان مساوات میں سے ایک کا انتخاب کریں اور اسے A کے لئے حل کریں۔

$$\frac{2}{3}A+B=400$$

مساوات کے دونوں اطراف سے B منہا کریں۔

$$\frac{2}{3}A=-B+400$$

مساوات کی دونوں اطراف کو \frac{2}{3} سے تقسیم کریں، جو کہ دونوں اطراف کو کسر کے معکوس کو ضرب دینے کی طرح ہے۔

$$A=\frac{3}{2}\left(-B+400\right)$$

\frac{3}{2} کو -B+400 مرتبہ ضرب دیں۔

$$A=-\frac{3}{2}B+600$$

دیگر مساوات A+\frac{4}{5}B=460، میں A کے لئے-\frac{3B}{2}+600 کو متبادل کریں۔

$$-\frac{3}{2}B+600+\frac{4}{5}B=460$$

-\frac{3B}{2} کو \frac{4B}{5} میں شامل کریں۔

$$-\frac{7}{10}B+600=460$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 600 منہا کریں۔

$$-\frac{7}{10}B=-140$$

مساوات کی دونوں اطراف کو -\frac{7}{10} سے تقسیم کریں، جو کہ دونوں اطراف کو کسر کے معکوس کو ضرب دینے کی طرح ہے۔

$$B=200$$

A=-\frac{3}{2}B+600 میں B کے لئے 200 کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ A کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$A=-\frac{3}{2}\times 200+600$$

-\frac{3}{2} کو 200 مرتبہ ضرب دیں۔

$$A=-300+600$$

600 کو -300 میں شامل کریں۔

$$A=300$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$A=300,B=200$$

میٹرکس کا استعمال کرنے کے اقدامات

مساواتوں کو معیاری وضع میں ڈالیں اور پھر مساوات کے نظام کو حل کرنے کے لیے میٹرکس استعمال کریں۔

$$\frac{2}{3}A+B=400,A+\frac{4}{5}B=460$$

مساواتوں کو میٹرکس صورت میں لکھیں۔

$$\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}400\\460\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right) کے معکوس میٹرکس سے بائیں جانب مساوات سے ضرب دیں۔

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}400\\460\end{matrix}\right)$$

ایک میٹرکس کا حاصل ضرب اور اس کا معکوس شناختی میٹرکس ہے۔

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}400\\460\end{matrix}\right)$$

مساوی نشان کے بائیں ہاتھ کی جانب میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}400\\460\end{matrix}\right)$$

2\times 2 میٹرکس \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) کے لئے، معکوس میٹرکس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ہے، لہذا میٹرکس مساوات کو میٹرکس ضرب مسئلہ کے طور پر دوبارہ لکھا جا سکتا ہے۔

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{4}{5}}{\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}-1}&-\frac{1}{\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}-1}\\-\frac{1}{\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}-1}&\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}400\\460\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{7}&\frac{15}{7}\\\frac{15}{7}&-\frac{10}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}400\\460\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{7}\times 400+\frac{15}{7}\times 460\\\frac{15}{7}\times 400-\frac{10}{7}\times 460\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}300\\200\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کے A اور B عناصر کو اخذ کریں۔

$$A=300,B=200$$

خاتمے کا استعمال کرنے کے اقدامات

خارجی طریقے سے حل کرنے کے لیئے، متغیرات میں سے کسی ایک کا عددی سر دونوں مساوات میں لازمی ایک جیسا ہونا چاہیئے تا کہ ایک متغیر دوسرے متغیر سے تفریق ہونے کی صورت میں متغیرات منسوخ ہوجائیں۔

$$\frac{2}{3}A+B=400,A+\frac{4}{5}B=460$$

\frac{2A}{3} اور A کو برابر بنانے کے لئے، تمام اصطلاحات کو پہلے قاعدے پر 1 سے اور تمام اصطلاحات کو دوسرے کی ہر ایک جانب \frac{2}{3} سے ضرب دیں۔

$$\frac{2}{3}A+B=400,\frac{2}{3}A+\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}B=\frac{2}{3}\times 460$$

سادہ کریں۔

$$\frac{2}{3}A+B=400,\frac{2}{3}A+\frac{8}{15}B=\frac{920}{3}$$

مساوی نشان کی ہر جانب ایک جیسے اصطلاحات کو تفریق کر کے \frac{2}{3}A+\frac{8}{15}B=\frac{920}{3} کو \frac{2}{3}A+B=400 سے منہا کریں۔

$$\frac{2}{3}A-\frac{2}{3}A+B-\frac{8}{15}B=400-\frac{920}{3}$$

\frac{2A}{3} کو -\frac{2A}{3} میں شامل کریں۔ اصطلاحات \frac{2A}{3} اور -\frac{2A}{3} قلم زد ہو گئے ہیں، جس کے نتیجے میں مساوات میں صرف ایک متغیر باقی ہے جے حل کیا جا سکتا ہے۔

$$B-\frac{8}{15}B=400-\frac{920}{3}$$

B کو -\frac{8B}{15} میں شامل کریں۔

$$\frac{7}{15}B=400-\frac{920}{3}$$

400 کو -\frac{920}{3} میں شامل کریں۔

$$\frac{7}{15}B=\frac{280}{3}$$

مساوات کی دونوں اطراف کو \frac{7}{15} سے تقسیم کریں، جو کہ دونوں اطراف کو کسر کے معکوس کو ضرب دینے کی طرح ہے۔

$$B=200$$

A+\frac{4}{5}B=460 میں B کے لئے 200 کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ A کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$A+\frac{4}{5}\times 200=460$$

\frac{4}{5} کو 200 مرتبہ ضرب دیں۔

$$A+160=460$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 160 منہا کریں۔

$$A=300$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$A=300,B=200$$