{l}{108/100x+110y/100=1008}{110/100x+108/100y=1028} حل کریں

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 108 } { 100 } x + \frac { 110 y } { 100 } = 1008 } \\ { \frac { 110 } { 100 } x + \frac { 108 } { 100 } y = 1028 } \end{array} \right.$$

x، y کے لئے حل کریں

$$x = \frac{105400}{109} = 966\frac{106}{109} \approx 966.972477064$$

$$y = -\frac{3600}{109} = -33\frac{3}{109} \approx -33.027522936$$

متبادل استعمال کرنے کے اقدامات

پہلی مساوات پر غور کریں۔ 100 سے مساوات کی دونوں اطراف کو ضرب دیں۔

$$108x+110y=100800$$

دوسری مساوات پر غور کریں۔ 10 کو اخذ اور منسوخ کرتے ہوئے \frac{110}{100} کسر کو کم تر اصطلاحات تک گھٹائیں۔

$$\frac{11}{10}x+\frac{108}{100}y=1028$$

4 کو اخذ اور منسوخ کرتے ہوئے \frac{108}{100} کسر کو کم تر اصطلاحات تک گھٹائیں۔

$$\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

متبادل کا استعمال کرتے ہوئے مساواتوں کے جوڑے کو حل کرنے کے لیئے، پہلے کسی ایک متغیر کے لیئے مساواتوں میں سے کسی ایک کو حل کریں۔ پھر اس متغیر کے لیئے نتائج کو کسی دوسری مساوات میں متبادل کریں۔

$$108x+110y=100800,\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

مساوی نشان کی بائیں ہاتھ کی جانب x کو اکیلا کر کے ان مساوات میں سے ایک کا انتخاب کریں اور اسے x کے لئے حل کریں۔

$$108x+110y=100800$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 110y منہا کریں۔

$$108x=-110y+100800$$

108 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$x=\frac{1}{108}\left(-110y+100800\right)$$

\frac{1}{108} کو -110y+100800 مرتبہ ضرب دیں۔

$$x=-\frac{55}{54}y+\frac{2800}{3}$$

دیگر مساوات \frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028، میں x کے لئے-\frac{55y}{54}+\frac{2800}{3} کو متبادل کریں۔

$$\frac{11}{10}\left(-\frac{55}{54}y+\frac{2800}{3}\right)+\frac{27}{25}y=1028$$

\frac{11}{10} کو -\frac{55y}{54}+\frac{2800}{3} مرتبہ ضرب دیں۔

$$-\frac{121}{108}y+\frac{3080}{3}+\frac{27}{25}y=1028$$

-\frac{121y}{108} کو \frac{27y}{25} میں شامل کریں۔

$$-\frac{109}{2700}y+\frac{3080}{3}=1028$$

مساوات کے دونوں اطراف سے \frac{3080}{3} منہا کریں۔

$$-\frac{109}{2700}y=\frac{4}{3}$$

مساوات کی دونوں اطراف کو -\frac{109}{2700} سے تقسیم کریں، جو کہ دونوں اطراف کو کسر کے معکوس کو ضرب دینے کی طرح ہے۔

$$y=-\frac{3600}{109}$$

x=-\frac{55}{54}y+\frac{2800}{3} میں y کے لئے -\frac{3600}{109} کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ x کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$x=-\frac{55}{54}\left(-\frac{3600}{109}\right)+\frac{2800}{3}$$

نیومیریٹر کو نیومیریٹر بار اور ڈینومینیٹر کو ڈینومینیٹر بار ضرب دے کر -\frac{3600}{109} کو -\frac{55}{54} مرتبہ ضرب دیں۔ اور پھر کسر کو اگر ممکن ہو تو کم ترین اصطلاح تک کم کریں۔

$$x=\frac{11000}{327}+\frac{2800}{3}$$

ایک مشترکہ ڈینومینیٹر کو ڈھونڈتے ہوئے اور نیومیریٹر کو شامل کر کے \frac{2800}{3} کو \frac{11000}{327} میں شامل کریں۔ اور پھر کسر کو اگر ممکن ہو تو پست ترین اصطلاح تک گھٹائیں۔

$$x=\frac{105400}{109}$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$x=\frac{105400}{109},y=-\frac{3600}{109}$$

میٹرکس کا استعمال کرنے کے اقدامات

پہلی مساوات پر غور کریں۔ 100 سے مساوات کی دونوں اطراف کو ضرب دیں۔

$$108x+110y=100800$$

دوسری مساوات پر غور کریں۔ 10 کو اخذ اور منسوخ کرتے ہوئے \frac{110}{100} کسر کو کم تر اصطلاحات تک گھٹائیں۔

$$\frac{11}{10}x+\frac{108}{100}y=1028$$

4 کو اخذ اور منسوخ کرتے ہوئے \frac{108}{100} کسر کو کم تر اصطلاحات تک گھٹائیں۔

$$\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

مساواتوں کو معیاری وضع میں ڈالیں اور پھر مساوات کے نظام کو حل کرنے کے لیے میٹرکس استعمال کریں۔

$$108x+110y=100800,\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

مساواتوں کو میٹرکس صورت میں لکھیں۔

$$\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right) کے معکوس میٹرکس سے بائیں جانب مساوات سے ضرب دیں۔

$$inverse(\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

ایک میٹرکس کا حاصل ضرب اور اس کا معکوس شناختی میٹرکس ہے۔

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

مساوی نشان کے بائیں ہاتھ کی جانب میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

2\times 2 میٹرکس \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) کے لئے، معکوس میٹرکس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ہے، لہذا میٹرکس مساوات کو میٹرکس ضرب مسئلہ کے طور پر دوبارہ لکھا جا سکتا ہے۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{27}{25}}{108\times \frac{27}{25}-110\times \frac{11}{10}}&-\frac{110}{108\times \frac{27}{25}-110\times \frac{11}{10}}\\-\frac{\frac{11}{10}}{108\times \frac{27}{25}-110\times \frac{11}{10}}&\frac{108}{108\times \frac{27}{25}-110\times \frac{11}{10}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{27}{109}&\frac{2750}{109}\\\frac{55}{218}&-\frac{2700}{109}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{27}{109}\times 100800+\frac{2750}{109}\times 1028\\\frac{55}{218}\times 100800-\frac{2700}{109}\times 1028\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{105400}{109}\\-\frac{3600}{109}\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کے x اور y عناصر کو اخذ کریں۔

$$x=\frac{105400}{109},y=-\frac{3600}{109}$$

خاتمے کا استعمال کرنے کے اقدامات

پہلی مساوات پر غور کریں۔ 100 سے مساوات کی دونوں اطراف کو ضرب دیں۔

$$108x+110y=100800$$

دوسری مساوات پر غور کریں۔ 10 کو اخذ اور منسوخ کرتے ہوئے \frac{110}{100} کسر کو کم تر اصطلاحات تک گھٹائیں۔

$$\frac{11}{10}x+\frac{108}{100}y=1028$$

4 کو اخذ اور منسوخ کرتے ہوئے \frac{108}{100} کسر کو کم تر اصطلاحات تک گھٹائیں۔

$$\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

خارجی طریقے سے حل کرنے کے لیئے، متغیرات میں سے کسی ایک کا عددی سر دونوں مساوات میں لازمی ایک جیسا ہونا چاہیئے تا کہ ایک متغیر دوسرے متغیر سے تفریق ہونے کی صورت میں متغیرات منسوخ ہوجائیں۔

$$108x+110y=100800,\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

108x اور \frac{11x}{10} کو برابر بنانے کے لئے، تمام اصطلاحات کو پہلے قاعدے پر \frac{11}{10} سے اور تمام اصطلاحات کو دوسرے کی ہر ایک جانب 108 سے ضرب دیں۔

$$\frac{11}{10}\times 108x+\frac{11}{10}\times 110y=\frac{11}{10}\times 100800,108\times \frac{11}{10}x+108\times \frac{27}{25}y=108\times 1028$$

سادہ کریں۔

$$\frac{594}{5}x+121y=110880,\frac{594}{5}x+\frac{2916}{25}y=111024$$

مساوی نشان کی ہر جانب ایک جیسے اصطلاحات کو تفریق کر کے \frac{594}{5}x+\frac{2916}{25}y=111024 کو \frac{594}{5}x+121y=110880 سے منہا کریں۔

$$\frac{594}{5}x-\frac{594}{5}x+121y-\frac{2916}{25}y=110880-111024$$

\frac{594x}{5} کو -\frac{594x}{5} میں شامل کریں۔ اصطلاحات \frac{594x}{5} اور -\frac{594x}{5} قلم زد ہو گئے ہیں، جس کے نتیجے میں مساوات میں صرف ایک متغیر باقی ہے جے حل کیا جا سکتا ہے۔

$$121y-\frac{2916}{25}y=110880-111024$$

121y کو -\frac{2916y}{25} میں شامل کریں۔

$$\frac{109}{25}y=110880-111024$$

110880 کو -111024 میں شامل کریں۔

$$\frac{109}{25}y=-144$$

مساوات کی دونوں اطراف کو \frac{109}{25} سے تقسیم کریں، جو کہ دونوں اطراف کو کسر کے معکوس کو ضرب دینے کی طرح ہے۔

$$y=-\frac{3600}{109}$$

\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028 میں y کے لئے -\frac{3600}{109} کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ x کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}\left(-\frac{3600}{109}\right)=1028$$

نیومیریٹر کو نیومیریٹر بار اور ڈینومینیٹر کو ڈینومینیٹر بار ضرب دے کر -\frac{3600}{109} کو \frac{27}{25} مرتبہ ضرب دیں۔ اور پھر کسر کو اگر ممکن ہو تو کم ترین اصطلاح تک کم کریں۔

$$\frac{11}{10}x-\frac{3888}{109}=1028$$

مساوات کے دونوں اطراف سے \frac{3888}{109} کو شامل کریں۔

$$\frac{11}{10}x=\frac{115940}{109}$$

مساوات کی دونوں اطراف کو \frac{11}{10} سے تقسیم کریں، جو کہ دونوں اطراف کو کسر کے معکوس کو ضرب دینے کی طرح ہے۔

$$x=\frac{105400}{109}$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$x=\frac{105400}{109},y=-\frac{3600}{109}$$