{c}{0.168x_{1}+0.361x_{2}=1.963}{0.998x_{2}+0.361x_{1}=4.958} حل کریں

$$\left. \begin{array} { c } { 0.168 x _ { 1 } + 0.361 x _ { 2 } = 1.963 } \\ { 0.998 x _ { 2 } + 0.361 x _ { 1 } = 4.958 } \end{array} \right.$$

x_1، x_2 کے لئے حل کریں

$$x_{1} = \frac{169236}{37343} = 4\frac{19864}{37343} \approx 4.531933696$$

$$x_{2} = \frac{124301}{37343} = 3\frac{12272}{37343} \approx 3.328629194$$

متبادل استعمال کرنے کے اقدامات

متبادل کا استعمال کرتے ہوئے مساواتوں کے جوڑے کو حل کرنے کے لیئے، پہلے کسی ایک متغیر کے لیئے مساواتوں میں سے کسی ایک کو حل کریں۔ پھر اس متغیر کے لیئے نتائج کو کسی دوسری مساوات میں متبادل کریں۔

$$0.168x_{1}+0.361x_{2}=1.963,0.361x_{1}+0.998x_{2}=4.958$$

مساوی نشان کی بائیں ہاتھ کی جانب x_{1} کو اکیلا کر کے ان مساوات میں سے ایک کا انتخاب کریں اور اسے x_{1} کے لئے حل کریں۔

$$0.168x_{1}+0.361x_{2}=1.963$$

مساوات کے دونوں اطراف سے \frac{361x_{2}}{1000} منہا کریں۔

$$0.168x_{1}=-0.361x_{2}+1.963$$

مساوات کی دونوں اطراف کو 0.168 سے تقسیم کریں، جو کہ دونوں اطراف کو کسر کے معکوس کو ضرب دینے کی طرح ہے۔

$$x_{1}=\frac{125}{21}\left(-0.361x_{2}+1.963\right)$$

\frac{125}{21} کو \frac{-361x_{2}+1963}{1000} مرتبہ ضرب دیں۔

$$x_{1}=-\frac{361}{168}x_{2}+\frac{1963}{168}$$

دیگر مساوات 0.361x_{1}+0.998x_{2}=4.958، میں x_{1} کے لئے\frac{-361x_{2}+1963}{168} کو متبادل کریں۔

$$0.361\left(-\frac{361}{168}x_{2}+\frac{1963}{168}\right)+0.998x_{2}=4.958$$

0.361 کو \frac{-361x_{2}+1963}{168} مرتبہ ضرب دیں۔

$$-\frac{130321}{168000}x_{2}+\frac{708643}{168000}+0.998x_{2}=4.958$$

-\frac{130321x_{2}}{168000} کو \frac{499x_{2}}{500} میں شامل کریں۔

$$\frac{37343}{168000}x_{2}+\frac{708643}{168000}=4.958$$

مساوات کے دونوں اطراف سے \frac{708643}{168000} منہا کریں۔

$$\frac{37343}{168000}x_{2}=\frac{124301}{168000}$$

مساوات کی دونوں اطراف کو \frac{37343}{168000} سے تقسیم کریں، جو کہ دونوں اطراف کو کسر کے معکوس کو ضرب دینے کی طرح ہے۔

$$x_{2}=\frac{124301}{37343}$$

x_{1}=-\frac{361}{168}x_{2}+\frac{1963}{168} میں x_{2} کے لئے \frac{124301}{37343} کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ x_{1} کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$x_{1}=-\frac{361}{168}\times \frac{124301}{37343}+\frac{1963}{168}$$

نیومیریٹر کو نیومیریٹر بار اور ڈینومینیٹر کو ڈینومینیٹر بار ضرب دے کر \frac{124301}{37343} کو -\frac{361}{168} مرتبہ ضرب دیں۔ اور پھر کسر کو اگر ممکن ہو تو کم ترین اصطلاح تک کم کریں۔

$$x_{1}=-\frac{44872661}{6273624}+\frac{1963}{168}$$

ایک مشترکہ ڈینومینیٹر کو ڈھونڈتے ہوئے اور نیومیریٹر کو شامل کر کے \frac{1963}{168} کو -\frac{44872661}{6273624} میں شامل کریں۔ اور پھر کسر کو اگر ممکن ہو تو پست ترین اصطلاح تک گھٹائیں۔

$$x_{1}=\frac{169236}{37343}$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$x_{1}=\frac{169236}{37343},x_{2}=\frac{124301}{37343}$$

میٹرکس کا استعمال کرنے کے اقدامات

مساواتوں کو معیاری وضع میں ڈالیں اور پھر مساوات کے نظام کو حل کرنے کے لیے میٹرکس استعمال کریں۔

$$0.168x_{1}+0.361x_{2}=1.963,0.361x_{1}+0.998x_{2}=4.958$$

مساواتوں کو میٹرکس صورت میں لکھیں۔

$$\left(\begin{matrix}0.168&0.361\\0.361&0.998\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1.963\\4.958\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}0.168&0.361\\0.361&0.998\end{matrix}\right) کے معکوس میٹرکس سے بائیں جانب مساوات سے ضرب دیں۔

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.168&0.361\\0.361&0.998\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.168&0.361\\0.361&0.998\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.168&0.361\\0.361&0.998\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.963\\4.958\end{matrix}\right)$$

ایک میٹرکس کا حاصل ضرب اور اس کا معکوس شناختی میٹرکس ہے۔

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.168&0.361\\0.361&0.998\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.963\\4.958\end{matrix}\right)$$

مساوی نشان کے بائیں ہاتھ کی جانب میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.168&0.361\\0.361&0.998\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.963\\4.958\end{matrix}\right)$$

2\times 2 میٹرکس \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) کے لئے، معکوس میٹرکس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ہے، لہذا میٹرکس مساوات کو میٹرکس ضرب مسئلہ کے طور پر دوبارہ لکھا جا سکتا ہے۔

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.998}{0.168\times 0.998-0.361\times 0.361}&-\frac{0.361}{0.168\times 0.998-0.361\times 0.361}\\-\frac{0.361}{0.168\times 0.998-0.361\times 0.361}&\frac{0.168}{0.168\times 0.998-0.361\times 0.361}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1.963\\4.958\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{998000}{37343}&-\frac{361000}{37343}\\-\frac{361000}{37343}&\frac{168000}{37343}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1.963\\4.958\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{998000}{37343}\times 1.963-\frac{361000}{37343}\times 4.958\\-\frac{361000}{37343}\times 1.963+\frac{168000}{37343}\times 4.958\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{169236}{37343}\\\frac{124301}{37343}\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کے x_{1} اور x_{2} عناصر کو اخذ کریں۔

$$x_{1}=\frac{169236}{37343},x_{2}=\frac{124301}{37343}$$

خاتمے کا استعمال کرنے کے اقدامات

خارجی طریقے سے حل کرنے کے لیئے، متغیرات میں سے کسی ایک کا عددی سر دونوں مساوات میں لازمی ایک جیسا ہونا چاہیئے تا کہ ایک متغیر دوسرے متغیر سے تفریق ہونے کی صورت میں متغیرات منسوخ ہوجائیں۔

$$0.168x_{1}+0.361x_{2}=1.963,0.361x_{1}+0.998x_{2}=4.958$$

\frac{21x_{1}}{125} اور \frac{361x_{1}}{1000} کو برابر بنانے کے لئے، تمام اصطلاحات کو پہلے قاعدے پر 0.361 سے اور تمام اصطلاحات کو دوسرے کی ہر ایک جانب 0.168 سے ضرب دیں۔

$$0.361\times 0.168x_{1}+0.361\times 0.361x_{2}=0.361\times 1.963,0.168\times 0.361x_{1}+0.168\times 0.998x_{2}=0.168\times 4.958$$

سادہ کریں۔

$$0.060648x_{1}+0.130321x_{2}=0.708643,0.060648x_{1}+0.167664x_{2}=0.832944$$

مساوی نشان کی ہر جانب ایک جیسے اصطلاحات کو تفریق کر کے 0.060648x_{1}+0.167664x_{2}=0.832944 کو 0.060648x_{1}+0.130321x_{2}=0.708643 سے منہا کریں۔

$$0.060648x_{1}-0.060648x_{1}+0.130321x_{2}-0.167664x_{2}=0.708643-0.832944$$

\frac{7581x_{1}}{125000} کو -\frac{7581x_{1}}{125000} میں شامل کریں۔ اصطلاحات \frac{7581x_{1}}{125000} اور -\frac{7581x_{1}}{125000} قلم زد ہو گئے ہیں، جس کے نتیجے میں مساوات میں صرف ایک متغیر باقی ہے جے حل کیا جا سکتا ہے۔

$$0.130321x_{2}-0.167664x_{2}=0.708643-0.832944$$

\frac{130321x_{2}}{1000000} کو -\frac{10479x_{2}}{62500} میں شامل کریں۔

$$-0.037343x_{2}=0.708643-0.832944$$

ایک مشترکہ ڈینومینیٹر کو ڈھونڈتے ہوئے اور نیومیریٹر کو شامل کر کے 0.708643 کو -0.832944 میں شامل کریں۔ اور پھر کسر کو اگر ممکن ہو تو پست ترین اصطلاح تک گھٹائیں۔

$$-0.037343x_{2}=-0.124301$$

مساوات کی دونوں اطراف کو -0.037343 سے تقسیم کریں، جو کہ دونوں اطراف کو کسر کے معکوس کو ضرب دینے کی طرح ہے۔

$$x_{2}=\frac{124301}{37343}$$

0.361x_{1}+0.998x_{2}=4.958 میں x_{2} کے لئے \frac{124301}{37343} کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ x_{1} کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$0.361x_{1}+0.998\times \frac{124301}{37343}=4.958$$

نیومیریٹر کو نیومیریٹر بار اور ڈینومینیٹر کو ڈینومینیٹر بار ضرب دے کر \frac{124301}{37343} کو 0.998 مرتبہ ضرب دیں۔ اور پھر کسر کو اگر ممکن ہو تو کم ترین اصطلاح تک کم کریں۔

$$0.361x_{1}+\frac{62026199}{18671500}=4.958$$

مساوات کے دونوں اطراف سے \frac{62026199}{18671500} منہا کریں۔

$$0.361x_{1}=\frac{15273549}{9335750}$$

مساوات کی دونوں اطراف کو 0.361 سے تقسیم کریں، جو کہ دونوں اطراف کو کسر کے معکوس کو ضرب دینے کی طرح ہے۔

$$x_{1}=\frac{169236}{37343}$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$x_{1}=\frac{169236}{37343},x_{2}=\frac{124301}{37343}$$