{l}{x/3+y/4=5/6}{3x+20y/5-frac{8y+1}{3}=frac{12x+16y}{15}} حل کریں

$$\left\{ \begin{array}{l}{ \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 4 } = \frac { 5 } { 6 } }\\{ \frac { 3 x + 20 y } { 5 } - \frac { 8 y + 1 } { 3 } = \frac { 12 x + 16 y } { 15 } }\end{array} \right.$$

x، y کے لئے حل کریں

$$x=1$$

$$y=2$$

متبادل استعمال کرنے کے اقدامات

پہلی مساوات پر غور کریں۔ مساوات کی دونوں اطراف کو 12 سے ضرب دیں، 3,4,6 کا سب کم سے کم مشترک حاصل ضرب۔

$$4x+3y=10$$

دوسری مساوات پر غور کریں۔ مساوات کی دونوں اطراف کو 15 سے ضرب دیں، 5,3,15 کا سب کم سے کم مشترک حاصل ضرب۔

$$3\left(3x+20y\right)-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

3 کو ایک سے 3x+20y ضرب دینے کے لیئے منقسم خاصیت کا استعمال کریں۔

$$9x+60y-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

-5 کو ایک سے 8y+1 ضرب دینے کے لیئے منقسم خاصیت کا استعمال کریں۔

$$9x+60y-40y-5=12x+16y$$

20y حاصل کرنے کے لئے 60y اور -40y کو یکجا کریں۔

$$9x+20y-5=12x+16y$$

12x کو دونوں طرف سے منہا کریں۔

$$9x+20y-5-12x=16y$$

-3x حاصل کرنے کے لئے 9x اور -12x کو یکجا کریں۔

$$-3x+20y-5=16y$$

16y کو دونوں طرف سے منہا کریں۔

$$-3x+20y-5-16y=0$$

4y حاصل کرنے کے لئے 20y اور -16y کو یکجا کریں۔

$$-3x+4y-5=0$$

دونوں اطراف میں 5 شامل کریں۔ کوئی بھی چیز جمع صفر ہو کر اپنا آپ دیتی ہے۔

$$-3x+4y=5$$

متبادل کا استعمال کرتے ہوئے مساواتوں کے جوڑے کو حل کرنے کے لیئے، پہلے کسی ایک متغیر کے لیئے مساواتوں میں سے کسی ایک کو حل کریں۔ پھر اس متغیر کے لیئے نتائج کو کسی دوسری مساوات میں متبادل کریں۔

$$4x+3y=10,-3x+4y=5$$

مساوی نشان کی بائیں ہاتھ کی جانب x کو اکیلا کر کے ان مساوات میں سے ایک کا انتخاب کریں اور اسے x کے لئے حل کریں۔

$$4x+3y=10$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 3y منہا کریں۔

$$4x=-3y+10$$

4 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+10\right)$$

\frac{1}{4} کو -3y+10 مرتبہ ضرب دیں۔

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{5}{2}$$

دیگر مساوات -3x+4y=5، میں x کے لئے-\frac{3y}{4}+\frac{5}{2} کو متبادل کریں۔

$$-3\left(-\frac{3}{4}y+\frac{5}{2}\right)+4y=5$$

-3 کو -\frac{3y}{4}+\frac{5}{2} مرتبہ ضرب دیں۔

$$\frac{9}{4}y-\frac{15}{2}+4y=5$$

\frac{9y}{4} کو 4y میں شامل کریں۔

$$\frac{25}{4}y-\frac{15}{2}=5$$

مساوات کے دونوں اطراف سے \frac{15}{2} کو شامل کریں۔

$$\frac{25}{4}y=\frac{25}{2}$$

مساوات کی دونوں اطراف کو \frac{25}{4} سے تقسیم کریں، جو کہ دونوں اطراف کو کسر کے معکوس کو ضرب دینے کی طرح ہے۔

$$y=2$$

x=-\frac{3}{4}y+\frac{5}{2} میں y کے لئے 2 کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ x کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$x=-\frac{3}{4}\times 2+\frac{5}{2}$$

-\frac{3}{4} کو 2 مرتبہ ضرب دیں۔

$$x=\frac{-3+5}{2}$$

ایک مشترکہ ڈینومینیٹر کو ڈھونڈتے ہوئے اور نیومیریٹر کو شامل کر کے \frac{5}{2} کو -\frac{3}{2} میں شامل کریں۔ اور پھر کسر کو اگر ممکن ہو تو پست ترین اصطلاح تک گھٹائیں۔

$$x=1$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$x=1,y=2$$

میٹرکس کا استعمال کرنے کے اقدامات

پہلی مساوات پر غور کریں۔ مساوات کی دونوں اطراف کو 12 سے ضرب دیں، 3,4,6 کا سب کم سے کم مشترک حاصل ضرب۔

$$4x+3y=10$$

دوسری مساوات پر غور کریں۔ مساوات کی دونوں اطراف کو 15 سے ضرب دیں، 5,3,15 کا سب کم سے کم مشترک حاصل ضرب۔

$$3\left(3x+20y\right)-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

3 کو ایک سے 3x+20y ضرب دینے کے لیئے منقسم خاصیت کا استعمال کریں۔

$$9x+60y-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

-5 کو ایک سے 8y+1 ضرب دینے کے لیئے منقسم خاصیت کا استعمال کریں۔

$$9x+60y-40y-5=12x+16y$$

20y حاصل کرنے کے لئے 60y اور -40y کو یکجا کریں۔

$$9x+20y-5=12x+16y$$

12x کو دونوں طرف سے منہا کریں۔

$$9x+20y-5-12x=16y$$

-3x حاصل کرنے کے لئے 9x اور -12x کو یکجا کریں۔

$$-3x+20y-5=16y$$

16y کو دونوں طرف سے منہا کریں۔

$$-3x+20y-5-16y=0$$

4y حاصل کرنے کے لئے 20y اور -16y کو یکجا کریں۔

$$-3x+4y-5=0$$

دونوں اطراف میں 5 شامل کریں۔ کوئی بھی چیز جمع صفر ہو کر اپنا آپ دیتی ہے۔

$$-3x+4y=5$$

مساواتوں کو معیاری وضع میں ڈالیں اور پھر مساوات کے نظام کو حل کرنے کے لیے میٹرکس استعمال کریں۔

$$4x+3y=10,-3x+4y=5$$

مساواتوں کو میٹرکس صورت میں لکھیں۔

$$\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right) کے معکوس میٹرکس سے بائیں جانب مساوات سے ضرب دیں۔

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

ایک میٹرکس کا حاصل ضرب اور اس کا معکوس شناختی میٹرکس ہے۔

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

مساوی نشان کے بائیں ہاتھ کی جانب میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 میٹرکس \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) کے لئے، معکوس میٹرکس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ہے، لہذا میٹرکس مساوات کو میٹرکس ضرب مسئلہ کے طور پر دوبارہ لکھا جا سکتا ہے۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4\times 4-3\left(-3\right)}&-\frac{3}{4\times 4-3\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{4\times 4-3\left(-3\right)}&\frac{4}{4\times 4-3\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}&-\frac{3}{25}\\\frac{3}{25}&\frac{4}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}\times 10-\frac{3}{25}\times 5\\\frac{3}{25}\times 10+\frac{4}{25}\times 5\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کے x اور y عناصر کو اخذ کریں۔

$$x=1,y=2$$

خاتمے کا استعمال کرنے کے اقدامات

پہلی مساوات پر غور کریں۔ مساوات کی دونوں اطراف کو 12 سے ضرب دیں، 3,4,6 کا سب کم سے کم مشترک حاصل ضرب۔

$$4x+3y=10$$

دوسری مساوات پر غور کریں۔ مساوات کی دونوں اطراف کو 15 سے ضرب دیں، 5,3,15 کا سب کم سے کم مشترک حاصل ضرب۔

$$3\left(3x+20y\right)-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

3 کو ایک سے 3x+20y ضرب دینے کے لیئے منقسم خاصیت کا استعمال کریں۔

$$9x+60y-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

-5 کو ایک سے 8y+1 ضرب دینے کے لیئے منقسم خاصیت کا استعمال کریں۔

$$9x+60y-40y-5=12x+16y$$

20y حاصل کرنے کے لئے 60y اور -40y کو یکجا کریں۔

$$9x+20y-5=12x+16y$$

12x کو دونوں طرف سے منہا کریں۔

$$9x+20y-5-12x=16y$$

-3x حاصل کرنے کے لئے 9x اور -12x کو یکجا کریں۔

$$-3x+20y-5=16y$$

16y کو دونوں طرف سے منہا کریں۔

$$-3x+20y-5-16y=0$$

4y حاصل کرنے کے لئے 20y اور -16y کو یکجا کریں۔

$$-3x+4y-5=0$$

دونوں اطراف میں 5 شامل کریں۔ کوئی بھی چیز جمع صفر ہو کر اپنا آپ دیتی ہے۔

$$-3x+4y=5$$

خارجی طریقے سے حل کرنے کے لیئے، متغیرات میں سے کسی ایک کا عددی سر دونوں مساوات میں لازمی ایک جیسا ہونا چاہیئے تا کہ ایک متغیر دوسرے متغیر سے تفریق ہونے کی صورت میں متغیرات منسوخ ہوجائیں۔

$$4x+3y=10,-3x+4y=5$$

4x اور -3x کو برابر بنانے کے لئے، تمام اصطلاحات کو پہلے قاعدے پر -3 سے اور تمام اصطلاحات کو دوسرے کی ہر ایک جانب 4 سے ضرب دیں۔

$$-3\times 4x-3\times 3y=-3\times 10,4\left(-3\right)x+4\times 4y=4\times 5$$

سادہ کریں۔

$$-12x-9y=-30,-12x+16y=20$$

مساوی نشان کی ہر جانب ایک جیسے اصطلاحات کو تفریق کر کے -12x+16y=20 کو -12x-9y=-30 سے منہا کریں۔

$$-12x+12x-9y-16y=-30-20$$

-12x کو 12x میں شامل کریں۔ اصطلاحات -12x اور 12x قلم زد ہو گئے ہیں، جس کے نتیجے میں مساوات میں صرف ایک متغیر باقی ہے جے حل کیا جا سکتا ہے۔

$$-9y-16y=-30-20$$

-9y کو -16y میں شامل کریں۔

$$-25y=-30-20$$

-30 کو -20 میں شامل کریں۔

$$-25y=-50$$

-25 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$y=2$$

-3x+4y=5 میں y کے لئے 2 کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ x کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$-3x+4\times 2=5$$

4 کو 2 مرتبہ ضرب دیں۔

$$-3x+8=5$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 8 منہا کریں۔

$$-3x=-3$$

-3 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$x=1$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$x=1,y=2$$