{l}{x+y=68}{99x-99y=2178} حل کریں

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 68 } \\ { 99 x - 99 y = 2178 } \end{array} \right.$$

x، y کے لئے حل کریں

$$x=45$$

$$y=23$$

متبادل استعمال کرنے کے اقدامات

متبادل کا استعمال کرتے ہوئے مساواتوں کے جوڑے کو حل کرنے کے لیئے، پہلے کسی ایک متغیر کے لیئے مساواتوں میں سے کسی ایک کو حل کریں۔ پھر اس متغیر کے لیئے نتائج کو کسی دوسری مساوات میں متبادل کریں۔

$$x+y=68,99x-99y=2178$$

مساوی نشان کی بائیں ہاتھ کی جانب x کو اکیلا کر کے ان مساوات میں سے ایک کا انتخاب کریں اور اسے x کے لئے حل کریں۔

$$x+y=68$$

مساوات کے دونوں اطراف سے y منہا کریں۔

$$x=-y+68$$

دیگر مساوات 99x-99y=2178، میں x کے لئے-y+68 کو متبادل کریں۔

$$99\left(-y+68\right)-99y=2178$$

99 کو -y+68 مرتبہ ضرب دیں۔

$$-99y+6732-99y=2178$$

-99y کو -99y میں شامل کریں۔

$$-198y+6732=2178$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 6732 منہا کریں۔

$$-198y=-4554$$

-198 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$y=23$$

x=-y+68 میں y کے لئے 23 کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ x کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$x=-23+68$$

68 کو -23 میں شامل کریں۔

$$x=45$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$x=45,y=23$$

میٹرکس کا استعمال کرنے کے اقدامات

مساواتوں کو معیاری وضع میں ڈالیں اور پھر مساوات کے نظام کو حل کرنے کے لیے میٹرکس استعمال کریں۔

$$x+y=68,99x-99y=2178$$

مساواتوں کو میٹرکس صورت میں لکھیں۔

$$\left(\begin{matrix}1&1\\99&-99\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}68\\2178\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\99&-99\end{matrix}\right) کے معکوس میٹرکس سے بائیں جانب مساوات سے ضرب دیں۔

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\99&-99\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\99&-99\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\99&-99\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}68\\2178\end{matrix}\right)$$

ایک میٹرکس کا حاصل ضرب اور اس کا معکوس شناختی میٹرکس ہے۔

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\99&-99\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}68\\2178\end{matrix}\right)$$

مساوی نشان کے بائیں ہاتھ کی جانب میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\99&-99\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}68\\2178\end{matrix}\right)$$

2\times 2 میٹرکس \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) کے لئے، معکوس میٹرکس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ہے، لہذا میٹرکس مساوات کو میٹرکس ضرب مسئلہ کے طور پر دوبارہ لکھا جا سکتا ہے۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{99}{-99-99}&-\frac{1}{-99-99}\\-\frac{99}{-99-99}&\frac{1}{-99-99}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}68\\2178\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{198}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{198}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}68\\2178\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 68+\frac{1}{198}\times 2178\\\frac{1}{2}\times 68-\frac{1}{198}\times 2178\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\23\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کے x اور y عناصر کو اخذ کریں۔

$$x=45,y=23$$

خاتمے کا استعمال کرنے کے اقدامات

خارجی طریقے سے حل کرنے کے لیئے، متغیرات میں سے کسی ایک کا عددی سر دونوں مساوات میں لازمی ایک جیسا ہونا چاہیئے تا کہ ایک متغیر دوسرے متغیر سے تفریق ہونے کی صورت میں متغیرات منسوخ ہوجائیں۔

$$x+y=68,99x-99y=2178$$

x اور 99x کو برابر بنانے کے لئے، تمام اصطلاحات کو پہلے قاعدے پر 99 سے اور تمام اصطلاحات کو دوسرے کی ہر ایک جانب 1 سے ضرب دیں۔

$$99x+99y=99\times 68,99x-99y=2178$$

سادہ کریں۔

$$99x+99y=6732,99x-99y=2178$$

مساوی نشان کی ہر جانب ایک جیسے اصطلاحات کو تفریق کر کے 99x-99y=2178 کو 99x+99y=6732 سے منہا کریں۔

$$99x-99x+99y+99y=6732-2178$$

99x کو -99x میں شامل کریں۔ اصطلاحات 99x اور -99x قلم زد ہو گئے ہیں، جس کے نتیجے میں مساوات میں صرف ایک متغیر باقی ہے جے حل کیا جا سکتا ہے۔

$$99y+99y=6732-2178$$

99y کو 99y میں شامل کریں۔

$$198y=6732-2178$$

6732 کو -2178 میں شامل کریں۔

$$198y=4554$$

198 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$y=23$$

99x-99y=2178 میں y کے لئے 23 کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ x کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$99x-99\times 23=2178$$

-99 کو 23 مرتبہ ضرب دیں۔

$$99x-2277=2178$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 2277 کو شامل کریں۔

$$99x=4455$$

99 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$x=45$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$x=45,y=23$$