{l}{ty+2=x}{x^2+4y^2=4} حل کریں

$$\left\{ \begin{array} { l } { t y + 2 = x } \\ { x ^ { 2 } + 4 y ^ { 2 } = 4 } \end{array} \right.$$

x، y کے لئے حل کریں

$$x=2\text{, }y=0$$

$$x=\frac{2\left(4-t^{2}\right)}{t^{2}+4}\text{, }y=-\frac{4t}{t^{2}+4}$$

متبادل اور مربعی فارمولا استعمال کرنے کے اقدامات

پہلی مساوات پر غور کریں۔ x کو دونوں طرف سے منہا کریں۔

$$ty+2-x=0$$

2 کو دونوں طرف سے منہا کریں۔ کوئی بھی چیز صفر میں سے تفریق ہوکر اپنا نفی دیتی ہے۔

$$ty-x=-2$$

متبادل کا استعمال کرتے ہوئے مساواتوں کے جوڑے کو حل کرنے کے لیئے، پہلے کسی ایک متغیر کے لیئے مساواتوں میں سے کسی ایک کو حل کریں۔ پھر اس متغیر کے لیئے نتائج کو کسی دوسری مساوات میں متبادل کریں۔

$$ty-x=-2,x^{2}+4y^{2}=4$$

برابری نشان کے بائیں ہاتھ کی جانبy کو اکیلا کرکے ty-x=-2 کو y سے حل کریں۔

$$ty-x=-2$$

مساوات کے دونوں اطراف سے -x منہا کریں۔

$$ty=x-2$$

t سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$y=\frac{1}{t}x-\frac{2}{t}$$

دیگر مساوات x^{2}+4y^{2}=4، میں y کے لئے\frac{1}{t}x-\frac{2}{t} کو متبادل کریں۔

$$x^{2}+4\left(\frac{1}{t}x-\frac{2}{t}\right)^{2}=4$$

مربع \frac{1}{t}x-\frac{2}{t}۔

$$x^{2}+4\left(\left(\frac{1}{t}\right)^{2}x^{2}+2\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}\right)=4$$

4 کو \left(\frac{1}{t}\right)^{2}x^{2}+2\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+\left(-\frac{2}{t}\right)^{2} مرتبہ ضرب دیں۔

$$x^{2}+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}x^{2}+8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+4\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}=4$$

x^{2} کو 4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}x^{2} میں شامل کریں۔

$$\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)x^{2}+8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+4\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}=4$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 4 منہا کریں۔

$$\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)x^{2}+8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+4\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}-4=0$$

یہ مساوات معیاری وضع میں ہے: ax^{2}+bx+c=0۔ مربعی فارمولا \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} میں a کے لئے 1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2} کو، b کے لئے 4\times 2\times \frac{1}{t}\left(-\frac{2}{t}\right) کو اور c کے لئے \frac{16}{t^{2}}-4 کو متبادل کریں۔

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{\left(8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}\right)^{2}-4\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)\left(-4+\frac{16}{t^{2}}\right)}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

مربع 4\times 2\times \frac{1}{t}\left(-\frac{2}{t}\right)۔

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{\frac{256}{t^{4}}-4\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)\left(-4+\frac{16}{t^{2}}\right)}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

-4 کو 1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2} مرتبہ ضرب دیں۔

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{\frac{256}{t^{4}}+\left(-4-\frac{16}{t^{2}}\right)\left(-4+\frac{16}{t^{2}}\right)}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

-4-\frac{16}{t^{2}} کو \frac{16}{t^{2}}-4 مرتبہ ضرب دیں۔

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{\frac{256}{t^{4}}+16-\frac{256}{t^{4}}}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

\frac{256}{t^{4}} کو -\frac{256}{t^{4}}+16 میں شامل کریں۔

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{16}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

16 کا جذر لیں۔

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±4}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

2 کو 1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2} مرتبہ ضرب دیں۔

$$x=\frac{\frac{16}{t^{2}}±4}{2+\frac{8}{t^{2}}}$$

جب ± جمع ہو تو اب مساوات x=\frac{\frac{16}{t^{2}}±4}{2+\frac{8}{t^{2}}} کو حل کریں۔ \frac{16}{t^{2}} کو 4 میں شامل کریں۔

$$x=\frac{4+\frac{16}{t^{2}}}{2+\frac{8}{t^{2}}}$$

4+\frac{16}{t^{2}} کو 2+\frac{8}{t^{2}} سے تقسیم کریں۔

$$x=2$$

جب ± منفی ہو تو اب مساوات x=\frac{\frac{16}{t^{2}}±4}{2+\frac{8}{t^{2}}} کو حل کریں۔ 4 کو \frac{16}{t^{2}} میں سے منہا کریں۔

$$x=\frac{-4+\frac{16}{t^{2}}}{2+\frac{8}{t^{2}}}$$

\frac{16}{t^{2}}-4 کو 2+\frac{8}{t^{2}} سے تقسیم کریں۔

$$x=-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}$$

x کے لیے دو حل ہیں: 2 اور -\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{4+t^{2}}۔ y کے لئے متعلقہ حل تلاش کرنے کے لئے y=\frac{1}{t}x-\frac{2}{t} مساوات میں 2 کو x کے لئے متبادل کریں جو دونوں مساواتوں کی تکمیل کرے۔

$$y=\frac{1}{t}\times 2-\frac{2}{t}$$

\frac{1}{t} کو 2 مرتبہ ضرب دیں۔

$$y=2\times \frac{1}{t}-\frac{2}{t}$$

اب -\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{4+t^{2}} کو x کے لئے y=\frac{1}{t}x-\frac{2}{t} مساوات میں متبادل کریں اور y کے لیئے متعلقہ حل تلاش کرنے کے لئے حل کریں جو دونوں مساواتوں کی تکمیل کرے۔

$$y=\frac{1}{t}\left(-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}\right)-\frac{2}{t}$$

\frac{1}{t} کو -\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{4+t^{2}} مرتبہ ضرب دیں۔

$$y=\left(-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}\right)\times \frac{1}{t}-\frac{2}{t}$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$y=2\times \frac{1}{t}-\frac{2}{t},x=2\text{ or }y=\left(-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}\right)\times \frac{1}{t}-\frac{2}{t},x=-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}$$

x، y کے لئے حل کریں (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=2\text{, }y=0\text{, }&\text{unconditionally}\\x=\frac{2\left(4-t^{2}\right)}{t^{2}+4}\text{, }y=-\frac{4t}{t^{2}+4}\text{, }&t\neq -2i\text{ and }t\neq 2i\end{matrix}\right.$$