{l}{78x+40y=1280}{120x+8y=2800} حل کریں

$$\left\{ \begin{array} { l } { 78 x + 40 y = 1280 } \\ { 120 x + 8 y = 2800 } \end{array} \right.$$

x، y کے لئے حل کریں

$$x = \frac{2120}{87} = 24\frac{32}{87} \approx 24.367816092$$

$$y = -\frac{450}{29} = -15\frac{15}{29} \approx -15.517241379$$

متبادل استعمال کرنے کے اقدامات

متبادل کا استعمال کرتے ہوئے مساواتوں کے جوڑے کو حل کرنے کے لیئے، پہلے کسی ایک متغیر کے لیئے مساواتوں میں سے کسی ایک کو حل کریں۔ پھر اس متغیر کے لیئے نتائج کو کسی دوسری مساوات میں متبادل کریں۔

$$78x+40y=1280,120x+8y=2800$$

مساوی نشان کی بائیں ہاتھ کی جانب x کو اکیلا کر کے ان مساوات میں سے ایک کا انتخاب کریں اور اسے x کے لئے حل کریں۔

$$78x+40y=1280$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 40y منہا کریں۔

$$78x=-40y+1280$$

78 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$x=\frac{1}{78}\left(-40y+1280\right)$$

\frac{1}{78} کو -40y+1280 مرتبہ ضرب دیں۔

$$x=-\frac{20}{39}y+\frac{640}{39}$$

دیگر مساوات 120x+8y=2800، میں x کے لئے\frac{-20y+640}{39} کو متبادل کریں۔

$$120\left(-\frac{20}{39}y+\frac{640}{39}\right)+8y=2800$$

120 کو \frac{-20y+640}{39} مرتبہ ضرب دیں۔

$$-\frac{800}{13}y+\frac{25600}{13}+8y=2800$$

-\frac{800y}{13} کو 8y میں شامل کریں۔

$$-\frac{696}{13}y+\frac{25600}{13}=2800$$

مساوات کے دونوں اطراف سے \frac{25600}{13} منہا کریں۔

$$-\frac{696}{13}y=\frac{10800}{13}$$

مساوات کی دونوں اطراف کو -\frac{696}{13} سے تقسیم کریں، جو کہ دونوں اطراف کو کسر کے معکوس کو ضرب دینے کی طرح ہے۔

$$y=-\frac{450}{29}$$

x=-\frac{20}{39}y+\frac{640}{39} میں y کے لئے -\frac{450}{29} کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ x کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$x=-\frac{20}{39}\left(-\frac{450}{29}\right)+\frac{640}{39}$$

نیومیریٹر کو نیومیریٹر بار اور ڈینومینیٹر کو ڈینومینیٹر بار ضرب دے کر -\frac{450}{29} کو -\frac{20}{39} مرتبہ ضرب دیں۔ اور پھر کسر کو اگر ممکن ہو تو کم ترین اصطلاح تک کم کریں۔

$$x=\frac{3000}{377}+\frac{640}{39}$$

ایک مشترکہ ڈینومینیٹر کو ڈھونڈتے ہوئے اور نیومیریٹر کو شامل کر کے \frac{640}{39} کو \frac{3000}{377} میں شامل کریں۔ اور پھر کسر کو اگر ممکن ہو تو پست ترین اصطلاح تک گھٹائیں۔

$$x=\frac{2120}{87}$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$x=\frac{2120}{87},y=-\frac{450}{29}$$

میٹرکس کا استعمال کرنے کے اقدامات

مساواتوں کو معیاری وضع میں ڈالیں اور پھر مساوات کے نظام کو حل کرنے کے لیے میٹرکس استعمال کریں۔

$$78x+40y=1280,120x+8y=2800$$

مساواتوں کو میٹرکس صورت میں لکھیں۔

$$\left(\begin{matrix}78&40\\120&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}78&40\\120&8\end{matrix}\right) کے معکوس میٹرکس سے بائیں جانب مساوات سے ضرب دیں۔

$$inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}78&40\\120&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

ایک میٹرکس کا حاصل ضرب اور اس کا معکوس شناختی میٹرکس ہے۔

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

مساوی نشان کے بائیں ہاتھ کی جانب میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

2\times 2 میٹرکس \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) کے لئے، معکوس میٹرکس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ہے، لہذا میٹرکس مساوات کو میٹرکس ضرب مسئلہ کے طور پر دوبارہ لکھا جا سکتا ہے۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{78\times 8-40\times 120}&-\frac{40}{78\times 8-40\times 120}\\-\frac{120}{78\times 8-40\times 120}&\frac{78}{78\times 8-40\times 120}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{522}&\frac{5}{522}\\\frac{5}{174}&-\frac{13}{696}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{522}\times 1280+\frac{5}{522}\times 2800\\\frac{5}{174}\times 1280-\frac{13}{696}\times 2800\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2120}{87}\\-\frac{450}{29}\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کے x اور y عناصر کو اخذ کریں۔

$$x=\frac{2120}{87},y=-\frac{450}{29}$$

خاتمے کا استعمال کرنے کے اقدامات

خارجی طریقے سے حل کرنے کے لیئے، متغیرات میں سے کسی ایک کا عددی سر دونوں مساوات میں لازمی ایک جیسا ہونا چاہیئے تا کہ ایک متغیر دوسرے متغیر سے تفریق ہونے کی صورت میں متغیرات منسوخ ہوجائیں۔

$$78x+40y=1280,120x+8y=2800$$

78x اور 120x کو برابر بنانے کے لئے، تمام اصطلاحات کو پہلے قاعدے پر 120 سے اور تمام اصطلاحات کو دوسرے کی ہر ایک جانب 78 سے ضرب دیں۔

$$120\times 78x+120\times 40y=120\times 1280,78\times 120x+78\times 8y=78\times 2800$$

سادہ کریں۔

$$9360x+4800y=153600,9360x+624y=218400$$

مساوی نشان کی ہر جانب ایک جیسے اصطلاحات کو تفریق کر کے 9360x+624y=218400 کو 9360x+4800y=153600 سے منہا کریں۔

$$9360x-9360x+4800y-624y=153600-218400$$

9360x کو -9360x میں شامل کریں۔ اصطلاحات 9360x اور -9360x قلم زد ہو گئے ہیں، جس کے نتیجے میں مساوات میں صرف ایک متغیر باقی ہے جے حل کیا جا سکتا ہے۔

$$4800y-624y=153600-218400$$

4800y کو -624y میں شامل کریں۔

$$4176y=153600-218400$$

153600 کو -218400 میں شامل کریں۔

$$4176y=-64800$$

4176 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$y=-\frac{450}{29}$$

120x+8y=2800 میں y کے لئے -\frac{450}{29} کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ x کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$120x+8\left(-\frac{450}{29}\right)=2800$$

8 کو -\frac{450}{29} مرتبہ ضرب دیں۔

$$120x-\frac{3600}{29}=2800$$

مساوات کے دونوں اطراف سے \frac{3600}{29} کو شامل کریں۔

$$120x=\frac{84800}{29}$$

120 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$x=\frac{2120}{87}$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$x=\frac{2120}{87},y=-\frac{450}{29}$$