{l}{6x-18y=-85}{24x-5y=-5} حل کریں

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x - 18 y = - 85 } \\ { 24 x - 5 y = - 5 } \end{array} \right.$$

x، y کے لئے حل کریں

$$x=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

$$y=5$$

متبادل استعمال کرنے کے اقدامات

متبادل کا استعمال کرتے ہوئے مساواتوں کے جوڑے کو حل کرنے کے لیئے، پہلے کسی ایک متغیر کے لیئے مساواتوں میں سے کسی ایک کو حل کریں۔ پھر اس متغیر کے لیئے نتائج کو کسی دوسری مساوات میں متبادل کریں۔

$$6x-18y=-85,24x-5y=-5$$

مساوی نشان کی بائیں ہاتھ کی جانب x کو اکیلا کر کے ان مساوات میں سے ایک کا انتخاب کریں اور اسے x کے لئے حل کریں۔

$$6x-18y=-85$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 18y کو شامل کریں۔

$$6x=18y-85$$

6 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$x=\frac{1}{6}\left(18y-85\right)$$

\frac{1}{6} کو 18y-85 مرتبہ ضرب دیں۔

$$x=3y-\frac{85}{6}$$

دیگر مساوات 24x-5y=-5، میں x کے لئے3y-\frac{85}{6} کو متبادل کریں۔

$$24\left(3y-\frac{85}{6}\right)-5y=-5$$

24 کو 3y-\frac{85}{6} مرتبہ ضرب دیں۔

$$72y-340-5y=-5$$

72y کو -5y میں شامل کریں۔

$$67y-340=-5$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 340 کو شامل کریں۔

$$67y=335$$

67 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$y=5$$

x=3y-\frac{85}{6} میں y کے لئے 5 کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ x کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$x=3\times 5-\frac{85}{6}$$

3 کو 5 مرتبہ ضرب دیں۔

$$x=15-\frac{85}{6}$$

-\frac{85}{6} کو 15 میں شامل کریں۔

$$x=\frac{5}{6}$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$x=\frac{5}{6},y=5$$

میٹرکس کا استعمال کرنے کے اقدامات

مساواتوں کو معیاری وضع میں ڈالیں اور پھر مساوات کے نظام کو حل کرنے کے لیے میٹرکس استعمال کریں۔

$$6x-18y=-85,24x-5y=-5$$

مساواتوں کو میٹرکس صورت میں لکھیں۔

$$\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right) کے معکوس میٹرکس سے بائیں جانب مساوات سے ضرب دیں۔

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

ایک میٹرکس کا حاصل ضرب اور اس کا معکوس شناختی میٹرکس ہے۔

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

مساوی نشان کے بائیں ہاتھ کی جانب میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 میٹرکس \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) کے لئے، معکوس میٹرکس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ہے، لہذا میٹرکس مساوات کو میٹرکس ضرب مسئلہ کے طور پر دوبارہ لکھا جا سکتا ہے۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{6\left(-5\right)-\left(-18\times 24\right)}&-\frac{-18}{6\left(-5\right)-\left(-18\times 24\right)}\\-\frac{24}{6\left(-5\right)-\left(-18\times 24\right)}&\frac{6}{6\left(-5\right)-\left(-18\times 24\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{402}&\frac{3}{67}\\-\frac{4}{67}&\frac{1}{67}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{402}\left(-85\right)+\frac{3}{67}\left(-5\right)\\-\frac{4}{67}\left(-85\right)+\frac{1}{67}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\\5\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کے x اور y عناصر کو اخذ کریں۔

$$x=\frac{5}{6},y=5$$

خاتمے کا استعمال کرنے کے اقدامات

خارجی طریقے سے حل کرنے کے لیئے، متغیرات میں سے کسی ایک کا عددی سر دونوں مساوات میں لازمی ایک جیسا ہونا چاہیئے تا کہ ایک متغیر دوسرے متغیر سے تفریق ہونے کی صورت میں متغیرات منسوخ ہوجائیں۔

$$6x-18y=-85,24x-5y=-5$$

6x اور 24x کو برابر بنانے کے لئے، تمام اصطلاحات کو پہلے قاعدے پر 24 سے اور تمام اصطلاحات کو دوسرے کی ہر ایک جانب 6 سے ضرب دیں۔

$$24\times 6x+24\left(-18\right)y=24\left(-85\right),6\times 24x+6\left(-5\right)y=6\left(-5\right)$$

سادہ کریں۔

$$144x-432y=-2040,144x-30y=-30$$

مساوی نشان کی ہر جانب ایک جیسے اصطلاحات کو تفریق کر کے 144x-30y=-30 کو 144x-432y=-2040 سے منہا کریں۔

$$144x-144x-432y+30y=-2040+30$$

144x کو -144x میں شامل کریں۔ اصطلاحات 144x اور -144x قلم زد ہو گئے ہیں، جس کے نتیجے میں مساوات میں صرف ایک متغیر باقی ہے جے حل کیا جا سکتا ہے۔

$$-432y+30y=-2040+30$$

-432y کو 30y میں شامل کریں۔

$$-402y=-2040+30$$

-2040 کو 30 میں شامل کریں۔

$$-402y=-2010$$

-402 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$y=5$$

24x-5y=-5 میں y کے لئے 5 کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ x کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$24x-5\times 5=-5$$

-5 کو 5 مرتبہ ضرب دیں۔

$$24x-25=-5$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 25 کو شامل کریں۔

$$24x=20$$

24 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$x=\frac{5}{6}$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$x=\frac{5}{6},y=5$$