{l}{6x+15y=360}{8x+10y=440} حل کریں

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x + 15 y = 360 } \\ { 8 x + 10 y = 440 } \end{array} \right.$$

x، y کے لئے حل کریں

$$x=50$$

$$y=4$$

متبادل استعمال کرنے کے اقدامات

متبادل کا استعمال کرتے ہوئے مساواتوں کے جوڑے کو حل کرنے کے لیئے، پہلے کسی ایک متغیر کے لیئے مساواتوں میں سے کسی ایک کو حل کریں۔ پھر اس متغیر کے لیئے نتائج کو کسی دوسری مساوات میں متبادل کریں۔

$$6x+15y=360,8x+10y=440$$

مساوی نشان کی بائیں ہاتھ کی جانب x کو اکیلا کر کے ان مساوات میں سے ایک کا انتخاب کریں اور اسے x کے لئے حل کریں۔

$$6x+15y=360$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 15y منہا کریں۔

$$6x=-15y+360$$

6 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$x=\frac{1}{6}\left(-15y+360\right)$$

\frac{1}{6} کو -15y+360 مرتبہ ضرب دیں۔

$$x=-\frac{5}{2}y+60$$

دیگر مساوات 8x+10y=440، میں x کے لئے-\frac{5y}{2}+60 کو متبادل کریں۔

$$8\left(-\frac{5}{2}y+60\right)+10y=440$$

8 کو -\frac{5y}{2}+60 مرتبہ ضرب دیں۔

$$-20y+480+10y=440$$

-20y کو 10y میں شامل کریں۔

$$-10y+480=440$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 480 منہا کریں۔

$$-10y=-40$$

-10 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$y=4$$

x=-\frac{5}{2}y+60 میں y کے لئے 4 کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ x کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$x=-\frac{5}{2}\times 4+60$$

-\frac{5}{2} کو 4 مرتبہ ضرب دیں۔

$$x=-10+60$$

60 کو -10 میں شامل کریں۔

$$x=50$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$x=50,y=4$$

میٹرکس کا استعمال کرنے کے اقدامات

مساواتوں کو معیاری وضع میں ڈالیں اور پھر مساوات کے نظام کو حل کرنے کے لیے میٹرکس استعمال کریں۔

$$6x+15y=360,8x+10y=440$$

مساواتوں کو میٹرکس صورت میں لکھیں۔

$$\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right) کے معکوس میٹرکس سے بائیں جانب مساوات سے ضرب دیں۔

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

ایک میٹرکس کا حاصل ضرب اور اس کا معکوس شناختی میٹرکس ہے۔

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

مساوی نشان کے بائیں ہاتھ کی جانب میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

2\times 2 میٹرکس \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) کے لئے، معکوس میٹرکس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ہے، لہذا میٹرکس مساوات کو میٹرکس ضرب مسئلہ کے طور پر دوبارہ لکھا جا سکتا ہے۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{6\times 10-15\times 8}&-\frac{15}{6\times 10-15\times 8}\\-\frac{8}{6\times 10-15\times 8}&\frac{6}{6\times 10-15\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{1}{4}\\\frac{2}{15}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\times 360+\frac{1}{4}\times 440\\\frac{2}{15}\times 360-\frac{1}{10}\times 440\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\4\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کے x اور y عناصر کو اخذ کریں۔

$$x=50,y=4$$

خاتمے کا استعمال کرنے کے اقدامات

خارجی طریقے سے حل کرنے کے لیئے، متغیرات میں سے کسی ایک کا عددی سر دونوں مساوات میں لازمی ایک جیسا ہونا چاہیئے تا کہ ایک متغیر دوسرے متغیر سے تفریق ہونے کی صورت میں متغیرات منسوخ ہوجائیں۔

$$6x+15y=360,8x+10y=440$$

6x اور 8x کو برابر بنانے کے لئے، تمام اصطلاحات کو پہلے قاعدے پر 8 سے اور تمام اصطلاحات کو دوسرے کی ہر ایک جانب 6 سے ضرب دیں۔

$$8\times 6x+8\times 15y=8\times 360,6\times 8x+6\times 10y=6\times 440$$

سادہ کریں۔

$$48x+120y=2880,48x+60y=2640$$

مساوی نشان کی ہر جانب ایک جیسے اصطلاحات کو تفریق کر کے 48x+60y=2640 کو 48x+120y=2880 سے منہا کریں۔

$$48x-48x+120y-60y=2880-2640$$

48x کو -48x میں شامل کریں۔ اصطلاحات 48x اور -48x قلم زد ہو گئے ہیں، جس کے نتیجے میں مساوات میں صرف ایک متغیر باقی ہے جے حل کیا جا سکتا ہے۔

$$120y-60y=2880-2640$$

120y کو -60y میں شامل کریں۔

$$60y=2880-2640$$

2880 کو -2640 میں شامل کریں۔

$$60y=240$$

60 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$y=4$$

8x+10y=440 میں y کے لئے 4 کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ x کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$8x+10\times 4=440$$

10 کو 4 مرتبہ ضرب دیں۔

$$8x+40=440$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 40 منہا کریں۔

$$8x=400$$

8 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$x=50$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$x=50,y=4$$