{l}{361x+463y=-102}{463x+361y=102} حل کریں

$$\left\{ \begin{array} { l } { 361 x + 463 y = - 102 } \\ { 463 x + 361 y = 102 } \end{array} \right.$$

x، y کے لئے حل کریں

$$x=1$$

$$y=-1$$

متبادل استعمال کرنے کے اقدامات

متبادل کا استعمال کرتے ہوئے مساواتوں کے جوڑے کو حل کرنے کے لیئے، پہلے کسی ایک متغیر کے لیئے مساواتوں میں سے کسی ایک کو حل کریں۔ پھر اس متغیر کے لیئے نتائج کو کسی دوسری مساوات میں متبادل کریں۔

$$361x+463y=-102,463x+361y=102$$

مساوی نشان کی بائیں ہاتھ کی جانب x کو اکیلا کر کے ان مساوات میں سے ایک کا انتخاب کریں اور اسے x کے لئے حل کریں۔

$$361x+463y=-102$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 463y منہا کریں۔

$$361x=-463y-102$$

361 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$x=\frac{1}{361}\left(-463y-102\right)$$

\frac{1}{361} کو -463y-102 مرتبہ ضرب دیں۔

$$x=-\frac{463}{361}y-\frac{102}{361}$$

دیگر مساوات 463x+361y=102، میں x کے لئے\frac{-463y-102}{361} کو متبادل کریں۔

$$463\left(-\frac{463}{361}y-\frac{102}{361}\right)+361y=102$$

463 کو \frac{-463y-102}{361} مرتبہ ضرب دیں۔

$$-\frac{214369}{361}y-\frac{47226}{361}+361y=102$$

-\frac{214369y}{361} کو 361y میں شامل کریں۔

$$-\frac{84048}{361}y-\frac{47226}{361}=102$$

مساوات کے دونوں اطراف سے \frac{47226}{361} کو شامل کریں۔

$$-\frac{84048}{361}y=\frac{84048}{361}$$

مساوات کی دونوں اطراف کو -\frac{84048}{361} سے تقسیم کریں، جو کہ دونوں اطراف کو کسر کے معکوس کو ضرب دینے کی طرح ہے۔

$$y=-1$$

x=-\frac{463}{361}y-\frac{102}{361} میں y کے لئے -1 کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ x کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$x=-\frac{463}{361}\left(-1\right)-\frac{102}{361}$$

-\frac{463}{361} کو -1 مرتبہ ضرب دیں۔

$$x=\frac{463-102}{361}$$

ایک مشترکہ ڈینومینیٹر کو ڈھونڈتے ہوئے اور نیومیریٹر کو شامل کر کے -\frac{102}{361} کو \frac{463}{361} میں شامل کریں۔ اور پھر کسر کو اگر ممکن ہو تو پست ترین اصطلاح تک گھٹائیں۔

$$x=1$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$x=1,y=-1$$

میٹرکس کا استعمال کرنے کے اقدامات

مساواتوں کو معیاری وضع میں ڈالیں اور پھر مساوات کے نظام کو حل کرنے کے لیے میٹرکس استعمال کریں۔

$$361x+463y=-102,463x+361y=102$$

مساواتوں کو میٹرکس صورت میں لکھیں۔

$$\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right) کے معکوس میٹرکس سے بائیں جانب مساوات سے ضرب دیں۔

$$inverse(\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

ایک میٹرکس کا حاصل ضرب اور اس کا معکوس شناختی میٹرکس ہے۔

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

مساوی نشان کے بائیں ہاتھ کی جانب میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

2\times 2 میٹرکس \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) کے لئے، معکوس میٹرکس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ہے، لہذا میٹرکس مساوات کو میٹرکس ضرب مسئلہ کے طور پر دوبارہ لکھا جا سکتا ہے۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{361}{361\times 361-463\times 463}&-\frac{463}{361\times 361-463\times 463}\\-\frac{463}{361\times 361-463\times 463}&\frac{361}{361\times 361-463\times 463}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{361}{84048}&\frac{463}{84048}\\\frac{463}{84048}&-\frac{361}{84048}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{361}{84048}\left(-102\right)+\frac{463}{84048}\times 102\\\frac{463}{84048}\left(-102\right)-\frac{361}{84048}\times 102\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کے x اور y عناصر کو اخذ کریں۔

$$x=1,y=-1$$

خاتمے کا استعمال کرنے کے اقدامات

خارجی طریقے سے حل کرنے کے لیئے، متغیرات میں سے کسی ایک کا عددی سر دونوں مساوات میں لازمی ایک جیسا ہونا چاہیئے تا کہ ایک متغیر دوسرے متغیر سے تفریق ہونے کی صورت میں متغیرات منسوخ ہوجائیں۔

$$361x+463y=-102,463x+361y=102$$

361x اور 463x کو برابر بنانے کے لئے، تمام اصطلاحات کو پہلے قاعدے پر 463 سے اور تمام اصطلاحات کو دوسرے کی ہر ایک جانب 361 سے ضرب دیں۔

$$463\times 361x+463\times 463y=463\left(-102\right),361\times 463x+361\times 361y=361\times 102$$

سادہ کریں۔

$$167143x+214369y=-47226,167143x+130321y=36822$$

مساوی نشان کی ہر جانب ایک جیسے اصطلاحات کو تفریق کر کے 167143x+130321y=36822 کو 167143x+214369y=-47226 سے منہا کریں۔

$$167143x-167143x+214369y-130321y=-47226-36822$$

167143x کو -167143x میں شامل کریں۔ اصطلاحات 167143x اور -167143x قلم زد ہو گئے ہیں، جس کے نتیجے میں مساوات میں صرف ایک متغیر باقی ہے جے حل کیا جا سکتا ہے۔

$$214369y-130321y=-47226-36822$$

214369y کو -130321y میں شامل کریں۔

$$84048y=-47226-36822$$

-47226 کو -36822 میں شامل کریں۔

$$84048y=-84048$$

84048 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$y=-1$$

463x+361y=102 میں y کے لئے -1 کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ x کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$463x+361\left(-1\right)=102$$

361 کو -1 مرتبہ ضرب دیں۔

$$463x-361=102$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 361 کو شامل کریں۔

$$463x=463$$

463 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$x=1$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$x=1,y=-1$$