{l}{30x+15y=675}{42x+20y=940} حل کریں

$$\left\{ \begin{array} { l } { 30 x + 15 y = 675 } \\ { 42 x + 20 y = 940 } \end{array} \right.$$

x، y کے لئے حل کریں

$$x=20$$

$$y=5$$

متبادل استعمال کرنے کے اقدامات

متبادل کا استعمال کرتے ہوئے مساواتوں کے جوڑے کو حل کرنے کے لیئے، پہلے کسی ایک متغیر کے لیئے مساواتوں میں سے کسی ایک کو حل کریں۔ پھر اس متغیر کے لیئے نتائج کو کسی دوسری مساوات میں متبادل کریں۔

$$30x+15y=675,42x+20y=940$$

مساوی نشان کی بائیں ہاتھ کی جانب x کو اکیلا کر کے ان مساوات میں سے ایک کا انتخاب کریں اور اسے x کے لئے حل کریں۔

$$30x+15y=675$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 15y منہا کریں۔

$$30x=-15y+675$$

30 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$x=\frac{1}{30}\left(-15y+675\right)$$

\frac{1}{30} کو -15y+675 مرتبہ ضرب دیں۔

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}$$

دیگر مساوات 42x+20y=940، میں x کے لئے\frac{-y+45}{2} کو متبادل کریں۔

$$42\left(-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}\right)+20y=940$$

42 کو \frac{-y+45}{2} مرتبہ ضرب دیں۔

$$-21y+945+20y=940$$

-21y کو 20y میں شامل کریں۔

$$-y+945=940$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 945 منہا کریں۔

$$-y=-5$$

-1 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$y=5$$

x=-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2} میں y کے لئے 5 کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ x کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$x=-\frac{1}{2}\times 5+\frac{45}{2}$$

-\frac{1}{2} کو 5 مرتبہ ضرب دیں۔

$$x=\frac{-5+45}{2}$$

ایک مشترکہ ڈینومینیٹر کو ڈھونڈتے ہوئے اور نیومیریٹر کو شامل کر کے \frac{45}{2} کو -\frac{5}{2} میں شامل کریں۔ اور پھر کسر کو اگر ممکن ہو تو پست ترین اصطلاح تک گھٹائیں۔

$$x=20$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$x=20,y=5$$

میٹرکس کا استعمال کرنے کے اقدامات

مساواتوں کو معیاری وضع میں ڈالیں اور پھر مساوات کے نظام کو حل کرنے کے لیے میٹرکس استعمال کریں۔

$$30x+15y=675,42x+20y=940$$

مساواتوں کو میٹرکس صورت میں لکھیں۔

$$\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right) کے معکوس میٹرکس سے بائیں جانب مساوات سے ضرب دیں۔

$$inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

ایک میٹرکس کا حاصل ضرب اور اس کا معکوس شناختی میٹرکس ہے۔

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

مساوی نشان کے بائیں ہاتھ کی جانب میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

2\times 2 میٹرکس \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) کے لئے، معکوس میٹرکس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ہے، لہذا میٹرکس مساوات کو میٹرکس ضرب مسئلہ کے طور پر دوبارہ لکھا جا سکتا ہے۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{30\times 20-15\times 42}&-\frac{15}{30\times 20-15\times 42}\\-\frac{42}{30\times 20-15\times 42}&\frac{30}{30\times 20-15\times 42}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{7}{5}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\times 675+\frac{1}{2}\times 940\\\frac{7}{5}\times 675-940\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\5\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کے x اور y عناصر کو اخذ کریں۔

$$x=20,y=5$$

خاتمے کا استعمال کرنے کے اقدامات

خارجی طریقے سے حل کرنے کے لیئے، متغیرات میں سے کسی ایک کا عددی سر دونوں مساوات میں لازمی ایک جیسا ہونا چاہیئے تا کہ ایک متغیر دوسرے متغیر سے تفریق ہونے کی صورت میں متغیرات منسوخ ہوجائیں۔

$$30x+15y=675,42x+20y=940$$

30x اور 42x کو برابر بنانے کے لئے، تمام اصطلاحات کو پہلے قاعدے پر 42 سے اور تمام اصطلاحات کو دوسرے کی ہر ایک جانب 30 سے ضرب دیں۔

$$42\times 30x+42\times 15y=42\times 675,30\times 42x+30\times 20y=30\times 940$$

سادہ کریں۔

$$1260x+630y=28350,1260x+600y=28200$$

مساوی نشان کی ہر جانب ایک جیسے اصطلاحات کو تفریق کر کے 1260x+600y=28200 کو 1260x+630y=28350 سے منہا کریں۔

$$1260x-1260x+630y-600y=28350-28200$$

1260x کو -1260x میں شامل کریں۔ اصطلاحات 1260x اور -1260x قلم زد ہو گئے ہیں، جس کے نتیجے میں مساوات میں صرف ایک متغیر باقی ہے جے حل کیا جا سکتا ہے۔

$$630y-600y=28350-28200$$

630y کو -600y میں شامل کریں۔

$$30y=28350-28200$$

28350 کو -28200 میں شامل کریں۔

$$30y=150$$

30 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$y=5$$

42x+20y=940 میں y کے لئے 5 کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ x کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$42x+20\times 5=940$$

20 کو 5 مرتبہ ضرب دیں۔

$$42x+100=940$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 100 منہا کریں۔

$$42x=840$$

42 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$x=20$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$x=20,y=5$$