{l}{3x+2y=16k}{5x-4y=-10k} حل کریں

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 16 k } \\ { 5 x - 4 y = - 10 k } \end{array} \right.$$

x، y کے لئے حل کریں

$$x=2k$$

$$y=5k$$

متبادل استعمال کرنے کے اقدامات

متبادل کا استعمال کرتے ہوئے مساواتوں کے جوڑے کو حل کرنے کے لیئے، پہلے کسی ایک متغیر کے لیئے مساواتوں میں سے کسی ایک کو حل کریں۔ پھر اس متغیر کے لیئے نتائج کو کسی دوسری مساوات میں متبادل کریں۔

$$3x+2y=16k,5x-4y=-10k$$

مساوی نشان کی بائیں ہاتھ کی جانب x کو اکیلا کر کے ان مساوات میں سے ایک کا انتخاب کریں اور اسے x کے لئے حل کریں۔

$$3x+2y=16k$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 2y منہا کریں۔

$$3x=-2y+16k$$

3 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+16k\right)$$

\frac{1}{3} کو -2y+16k مرتبہ ضرب دیں۔

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{16k}{3}$$

دیگر مساوات 5x-4y=-10k، میں x کے لئے\frac{-2y+16k}{3} کو متبادل کریں۔

$$5\left(-\frac{2}{3}y+\frac{16k}{3}\right)-4y=-10k$$

5 کو \frac{-2y+16k}{3} مرتبہ ضرب دیں۔

$$-\frac{10}{3}y+\frac{80k}{3}-4y=-10k$$

-\frac{10y}{3} کو -4y میں شامل کریں۔

$$-\frac{22}{3}y+\frac{80k}{3}=-10k$$

مساوات کے دونوں اطراف سے \frac{80k}{3} منہا کریں۔

$$-\frac{22}{3}y=-\frac{110k}{3}$$

مساوات کی دونوں اطراف کو -\frac{22}{3} سے تقسیم کریں، جو کہ دونوں اطراف کو کسر کے معکوس کو ضرب دینے کی طرح ہے۔

$$y=5k$$

x=-\frac{2}{3}y+\frac{16k}{3} میں y کے لئے 5k کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ x کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$x=-\frac{2}{3}\times 5k+\frac{16k}{3}$$

-\frac{2}{3} کو 5k مرتبہ ضرب دیں۔

$$x=\frac{-10k+16k}{3}$$

\frac{16k}{3} کو -\frac{10k}{3} میں شامل کریں۔

$$x=2k$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$x=2k,y=5k$$

میٹرکس کا استعمال کرنے کے اقدامات

مساواتوں کو معیاری وضع میں ڈالیں اور پھر مساوات کے نظام کو حل کرنے کے لیے میٹرکس استعمال کریں۔

$$3x+2y=16k,5x-4y=-10k$$

مساواتوں کو میٹرکس صورت میں لکھیں۔

$$\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right) کے معکوس میٹرکس سے بائیں جانب مساوات سے ضرب دیں۔

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

ایک میٹرکس کا حاصل ضرب اور اس کا معکوس شناختی میٹرکس ہے۔

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

مساوی نشان کے بائیں ہاتھ کی جانب میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

2\times 2 میٹرکس \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) کے لئے، معکوس میٹرکس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ہے، لہذا میٹرکس مساوات کو میٹرکس ضرب مسئلہ کے طور پر دوبارہ لکھا جا سکتا ہے۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3\left(-4\right)-2\times 5}&-\frac{2}{3\left(-4\right)-2\times 5}\\-\frac{5}{3\left(-4\right)-2\times 5}&\frac{3}{3\left(-4\right)-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\\\frac{5}{22}&-\frac{3}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 16k+\frac{1}{11}\left(-10k\right)\\\frac{5}{22}\times 16k-\frac{3}{22}\left(-10k\right)\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2k\\5k\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کے x اور y عناصر کو اخذ کریں۔

$$x=2k,y=5k$$

خاتمے کا استعمال کرنے کے اقدامات

خارجی طریقے سے حل کرنے کے لیئے، متغیرات میں سے کسی ایک کا عددی سر دونوں مساوات میں لازمی ایک جیسا ہونا چاہیئے تا کہ ایک متغیر دوسرے متغیر سے تفریق ہونے کی صورت میں متغیرات منسوخ ہوجائیں۔

$$3x+2y=16k,5x-4y=-10k$$

3x اور 5x کو برابر بنانے کے لئے، تمام اصطلاحات کو پہلے قاعدے پر 5 سے اور تمام اصطلاحات کو دوسرے کی ہر ایک جانب 3 سے ضرب دیں۔

$$5\times 3x+5\times 2y=5\times 16k,3\times 5x+3\left(-4\right)y=3\left(-10k\right)$$

سادہ کریں۔

$$15x+10y=80k,15x-12y=-30k$$

مساوی نشان کی ہر جانب ایک جیسے اصطلاحات کو تفریق کر کے 15x-12y=-30k کو 15x+10y=80k سے منہا کریں۔

$$15x-15x+10y+12y=80k+30k$$

15x کو -15x میں شامل کریں۔ اصطلاحات 15x اور -15x قلم زد ہو گئے ہیں، جس کے نتیجے میں مساوات میں صرف ایک متغیر باقی ہے جے حل کیا جا سکتا ہے۔

$$10y+12y=80k+30k$$

10y کو 12y میں شامل کریں۔

$$22y=80k+30k$$

80k کو 30k میں شامل کریں۔

$$22y=110k$$

22 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$y=5k$$

5x-4y=-10k میں y کے لئے 5k کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ x کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$5x-4\times 5k=-10k$$

-4 کو 5k مرتبہ ضرب دیں۔

$$5x-20k=-10k$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 20k کو شامل کریں۔

$$5x=10k$$

5 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$x=2k$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$x=2k,y=5k$$