{l}{3(5x-2)-7(2y+3)=2}{2(3x-y)-23=3(4-9x)} حل کریں

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( 5 x - 2 ) - 7 ( 2 y + 3 ) = 2 } \\ { 2 ( 3 x - y ) - 23 = 3 ( 4 - 9 x ) } \end{array} \right.$$

x، y کے لئے حل کریں

$$x=1$$

$$y=-1$$

متبادل استعمال کرنے کے اقدامات

پہلی مساوات پر غور کریں۔ 3 کو ایک سے 5x-2 ضرب دینے کے لیئے منقسم خاصیت کا استعمال کریں۔

$$15x-6-7\left(2y+3\right)=2$$

-7 کو ایک سے 2y+3 ضرب دینے کے لیئے منقسم خاصیت کا استعمال کریں۔

$$15x-6-14y-21=2$$

-27 حاصل کرنے کے لئے -6 کو 21 سے تفریق کریں۔

$$15x-27-14y=2$$

دونوں اطراف میں 27 شامل کریں۔

$$15x-14y=2+27$$

29 حاصل کرنے کے لئے 2 اور 27 شامل کریں۔

$$15x-14y=29$$

دوسری مساوات پر غور کریں۔ 2 کو ایک سے 3x-y ضرب دینے کے لیئے منقسم خاصیت کا استعمال کریں۔

$$6x-2y-23=3\left(4-9x\right)$$

3 کو ایک سے 4-9x ضرب دینے کے لیئے منقسم خاصیت کا استعمال کریں۔

$$6x-2y-23=12-27x$$

دونوں اطراف میں 27x شامل کریں۔

$$6x-2y-23+27x=12$$

33x حاصل کرنے کے لئے 6x اور 27x کو یکجا کریں۔

$$33x-2y-23=12$$

دونوں اطراف میں 23 شامل کریں۔

$$33x-2y=12+23$$

35 حاصل کرنے کے لئے 12 اور 23 شامل کریں۔

$$33x-2y=35$$

متبادل کا استعمال کرتے ہوئے مساواتوں کے جوڑے کو حل کرنے کے لیئے، پہلے کسی ایک متغیر کے لیئے مساواتوں میں سے کسی ایک کو حل کریں۔ پھر اس متغیر کے لیئے نتائج کو کسی دوسری مساوات میں متبادل کریں۔

$$15x-14y=29,33x-2y=35$$

مساوی نشان کی بائیں ہاتھ کی جانب x کو اکیلا کر کے ان مساوات میں سے ایک کا انتخاب کریں اور اسے x کے لئے حل کریں۔

$$15x-14y=29$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 14y کو شامل کریں۔

$$15x=14y+29$$

15 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$x=\frac{1}{15}\left(14y+29\right)$$

\frac{1}{15} کو 14y+29 مرتبہ ضرب دیں۔

$$x=\frac{14}{15}y+\frac{29}{15}$$

دیگر مساوات 33x-2y=35، میں x کے لئے\frac{14y+29}{15} کو متبادل کریں۔

$$33\left(\frac{14}{15}y+\frac{29}{15}\right)-2y=35$$

33 کو \frac{14y+29}{15} مرتبہ ضرب دیں۔

$$\frac{154}{5}y+\frac{319}{5}-2y=35$$

\frac{154y}{5} کو -2y میں شامل کریں۔

$$\frac{144}{5}y+\frac{319}{5}=35$$

مساوات کے دونوں اطراف سے \frac{319}{5} منہا کریں۔

$$\frac{144}{5}y=-\frac{144}{5}$$

مساوات کی دونوں اطراف کو \frac{144}{5} سے تقسیم کریں، جو کہ دونوں اطراف کو کسر کے معکوس کو ضرب دینے کی طرح ہے۔

$$y=-1$$

x=\frac{14}{15}y+\frac{29}{15} میں y کے لئے -1 کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ x کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$x=\frac{14}{15}\left(-1\right)+\frac{29}{15}$$

\frac{14}{15} کو -1 مرتبہ ضرب دیں۔

$$x=\frac{-14+29}{15}$$

ایک مشترکہ ڈینومینیٹر کو ڈھونڈتے ہوئے اور نیومیریٹر کو شامل کر کے \frac{29}{15} کو -\frac{14}{15} میں شامل کریں۔ اور پھر کسر کو اگر ممکن ہو تو پست ترین اصطلاح تک گھٹائیں۔

$$x=1$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$x=1,y=-1$$

میٹرکس کا استعمال کرنے کے اقدامات

پہلی مساوات پر غور کریں۔ 3 کو ایک سے 5x-2 ضرب دینے کے لیئے منقسم خاصیت کا استعمال کریں۔

$$15x-6-7\left(2y+3\right)=2$$

-7 کو ایک سے 2y+3 ضرب دینے کے لیئے منقسم خاصیت کا استعمال کریں۔

$$15x-6-14y-21=2$$

-27 حاصل کرنے کے لئے -6 کو 21 سے تفریق کریں۔

$$15x-27-14y=2$$

دونوں اطراف میں 27 شامل کریں۔

$$15x-14y=2+27$$

29 حاصل کرنے کے لئے 2 اور 27 شامل کریں۔

$$15x-14y=29$$

دوسری مساوات پر غور کریں۔ 2 کو ایک سے 3x-y ضرب دینے کے لیئے منقسم خاصیت کا استعمال کریں۔

$$6x-2y-23=3\left(4-9x\right)$$

3 کو ایک سے 4-9x ضرب دینے کے لیئے منقسم خاصیت کا استعمال کریں۔

$$6x-2y-23=12-27x$$

دونوں اطراف میں 27x شامل کریں۔

$$6x-2y-23+27x=12$$

33x حاصل کرنے کے لئے 6x اور 27x کو یکجا کریں۔

$$33x-2y-23=12$$

دونوں اطراف میں 23 شامل کریں۔

$$33x-2y=12+23$$

35 حاصل کرنے کے لئے 12 اور 23 شامل کریں۔

$$33x-2y=35$$

مساواتوں کو معیاری وضع میں ڈالیں اور پھر مساوات کے نظام کو حل کرنے کے لیے میٹرکس استعمال کریں۔

$$15x-14y=29,33x-2y=35$$

مساواتوں کو میٹرکس صورت میں لکھیں۔

$$\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right) کے معکوس میٹرکس سے بائیں جانب مساوات سے ضرب دیں۔

$$inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

ایک میٹرکس کا حاصل ضرب اور اس کا معکوس شناختی میٹرکس ہے۔

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

مساوی نشان کے بائیں ہاتھ کی جانب میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

2\times 2 میٹرکس \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) کے لئے، معکوس میٹرکس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ہے، لہذا میٹرکس مساوات کو میٹرکس ضرب مسئلہ کے طور پر دوبارہ لکھا جا سکتا ہے۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}&-\frac{-14}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}\\-\frac{33}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}&\frac{15}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{216}&\frac{7}{216}\\-\frac{11}{144}&\frac{5}{144}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{216}\times 29+\frac{7}{216}\times 35\\-\frac{11}{144}\times 29+\frac{5}{144}\times 35\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کے x اور y عناصر کو اخذ کریں۔

$$x=1,y=-1$$

خاتمے کا استعمال کرنے کے اقدامات

پہلی مساوات پر غور کریں۔ 3 کو ایک سے 5x-2 ضرب دینے کے لیئے منقسم خاصیت کا استعمال کریں۔

$$15x-6-7\left(2y+3\right)=2$$

-7 کو ایک سے 2y+3 ضرب دینے کے لیئے منقسم خاصیت کا استعمال کریں۔

$$15x-6-14y-21=2$$

-27 حاصل کرنے کے لئے -6 کو 21 سے تفریق کریں۔

$$15x-27-14y=2$$

دونوں اطراف میں 27 شامل کریں۔

$$15x-14y=2+27$$

29 حاصل کرنے کے لئے 2 اور 27 شامل کریں۔

$$15x-14y=29$$

دوسری مساوات پر غور کریں۔ 2 کو ایک سے 3x-y ضرب دینے کے لیئے منقسم خاصیت کا استعمال کریں۔

$$6x-2y-23=3\left(4-9x\right)$$

3 کو ایک سے 4-9x ضرب دینے کے لیئے منقسم خاصیت کا استعمال کریں۔

$$6x-2y-23=12-27x$$

دونوں اطراف میں 27x شامل کریں۔

$$6x-2y-23+27x=12$$

33x حاصل کرنے کے لئے 6x اور 27x کو یکجا کریں۔

$$33x-2y-23=12$$

دونوں اطراف میں 23 شامل کریں۔

$$33x-2y=12+23$$

35 حاصل کرنے کے لئے 12 اور 23 شامل کریں۔

$$33x-2y=35$$

خارجی طریقے سے حل کرنے کے لیئے، متغیرات میں سے کسی ایک کا عددی سر دونوں مساوات میں لازمی ایک جیسا ہونا چاہیئے تا کہ ایک متغیر دوسرے متغیر سے تفریق ہونے کی صورت میں متغیرات منسوخ ہوجائیں۔

$$15x-14y=29,33x-2y=35$$

15x اور 33x کو برابر بنانے کے لئے، تمام اصطلاحات کو پہلے قاعدے پر 33 سے اور تمام اصطلاحات کو دوسرے کی ہر ایک جانب 15 سے ضرب دیں۔

$$33\times 15x+33\left(-14\right)y=33\times 29,15\times 33x+15\left(-2\right)y=15\times 35$$

سادہ کریں۔

$$495x-462y=957,495x-30y=525$$

مساوی نشان کی ہر جانب ایک جیسے اصطلاحات کو تفریق کر کے 495x-30y=525 کو 495x-462y=957 سے منہا کریں۔

$$495x-495x-462y+30y=957-525$$

495x کو -495x میں شامل کریں۔ اصطلاحات 495x اور -495x قلم زد ہو گئے ہیں، جس کے نتیجے میں مساوات میں صرف ایک متغیر باقی ہے جے حل کیا جا سکتا ہے۔

$$-462y+30y=957-525$$

-462y کو 30y میں شامل کریں۔

$$-432y=957-525$$

957 کو -525 میں شامل کریں۔

$$-432y=432$$

-432 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$y=-1$$

33x-2y=35 میں y کے لئے -1 کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ x کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$33x-2\left(-1\right)=35$$

-2 کو -1 مرتبہ ضرب دیں۔

$$33x+2=35$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 2 منہا کریں۔

$$33x=33$$

33 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$x=1$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$x=1,y=-1$$