{l}{25x+35y=16500}{x+y=500} حل کریں

$$\left\{ \begin{array} { l } { 25 x + 35 y = 16500 } \\ { x + y = 500 } \end{array} \right.$$

x، y کے لئے حل کریں

$$x=100$$

$$y=400$$

متبادل استعمال کرنے کے اقدامات

متبادل کا استعمال کرتے ہوئے مساواتوں کے جوڑے کو حل کرنے کے لیئے، پہلے کسی ایک متغیر کے لیئے مساواتوں میں سے کسی ایک کو حل کریں۔ پھر اس متغیر کے لیئے نتائج کو کسی دوسری مساوات میں متبادل کریں۔

$$25x+35y=16500,x+y=500$$

مساوی نشان کی بائیں ہاتھ کی جانب x کو اکیلا کر کے ان مساوات میں سے ایک کا انتخاب کریں اور اسے x کے لئے حل کریں۔

$$25x+35y=16500$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 35y منہا کریں۔

$$25x=-35y+16500$$

25 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$x=\frac{1}{25}\left(-35y+16500\right)$$

\frac{1}{25} کو -35y+16500 مرتبہ ضرب دیں۔

$$x=-\frac{7}{5}y+660$$

دیگر مساوات x+y=500، میں x کے لئے-\frac{7y}{5}+660 کو متبادل کریں۔

$$-\frac{7}{5}y+660+y=500$$

-\frac{7y}{5} کو y میں شامل کریں۔

$$-\frac{2}{5}y+660=500$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 660 منہا کریں۔

$$-\frac{2}{5}y=-160$$

مساوات کی دونوں اطراف کو -\frac{2}{5} سے تقسیم کریں، جو کہ دونوں اطراف کو کسر کے معکوس کو ضرب دینے کی طرح ہے۔

$$y=400$$

x=-\frac{7}{5}y+660 میں y کے لئے 400 کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ x کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$x=-\frac{7}{5}\times 400+660$$

-\frac{7}{5} کو 400 مرتبہ ضرب دیں۔

$$x=-560+660$$

660 کو -560 میں شامل کریں۔

$$x=100$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$x=100,y=400$$

میٹرکس کا استعمال کرنے کے اقدامات

مساواتوں کو معیاری وضع میں ڈالیں اور پھر مساوات کے نظام کو حل کرنے کے لیے میٹرکس استعمال کریں۔

$$25x+35y=16500,x+y=500$$

مساواتوں کو میٹرکس صورت میں لکھیں۔

$$\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right) کے معکوس میٹرکس سے بائیں جانب مساوات سے ضرب دیں۔

$$inverse(\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

ایک میٹرکس کا حاصل ضرب اور اس کا معکوس شناختی میٹرکس ہے۔

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

مساوی نشان کے بائیں ہاتھ کی جانب میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

2\times 2 میٹرکس \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) کے لئے، معکوس میٹرکس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ہے، لہذا میٹرکس مساوات کو میٹرکس ضرب مسئلہ کے طور پر دوبارہ لکھا جا سکتا ہے۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{25-35}&-\frac{35}{25-35}\\-\frac{1}{25-35}&\frac{25}{25-35}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}&\frac{7}{2}\\\frac{1}{10}&-\frac{5}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}\times 16500+\frac{7}{2}\times 500\\\frac{1}{10}\times 16500-\frac{5}{2}\times 500\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\400\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کے x اور y عناصر کو اخذ کریں۔

$$x=100,y=400$$

خاتمے کا استعمال کرنے کے اقدامات

خارجی طریقے سے حل کرنے کے لیئے، متغیرات میں سے کسی ایک کا عددی سر دونوں مساوات میں لازمی ایک جیسا ہونا چاہیئے تا کہ ایک متغیر دوسرے متغیر سے تفریق ہونے کی صورت میں متغیرات منسوخ ہوجائیں۔

$$25x+35y=16500,x+y=500$$

25x اور x کو برابر بنانے کے لئے، تمام اصطلاحات کو پہلے قاعدے پر 1 سے اور تمام اصطلاحات کو دوسرے کی ہر ایک جانب 25 سے ضرب دیں۔

$$25x+35y=16500,25x+25y=25\times 500$$

سادہ کریں۔

$$25x+35y=16500,25x+25y=12500$$

مساوی نشان کی ہر جانب ایک جیسے اصطلاحات کو تفریق کر کے 25x+25y=12500 کو 25x+35y=16500 سے منہا کریں۔

$$25x-25x+35y-25y=16500-12500$$

25x کو -25x میں شامل کریں۔ اصطلاحات 25x اور -25x قلم زد ہو گئے ہیں، جس کے نتیجے میں مساوات میں صرف ایک متغیر باقی ہے جے حل کیا جا سکتا ہے۔

$$35y-25y=16500-12500$$

35y کو -25y میں شامل کریں۔

$$10y=16500-12500$$

16500 کو -12500 میں شامل کریں۔

$$10y=4000$$

10 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$y=400$$

x+y=500 میں y کے لئے 400 کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ x کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$x+400=500$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 400 منہا کریں۔

$$x=100$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$x=100,y=400$$