{l}{21x+7y=42}{-5x+5y=10} حل کریں

$$\left\{ \begin{array} { l } { 21 x + 7 y = 42 } \\ { - 5 x + 5 y = 10 } \end{array} \right.$$

x، y کے لئے حل کریں

$$x=1$$

$$y=3$$

متبادل استعمال کرنے کے اقدامات

متبادل کا استعمال کرتے ہوئے مساواتوں کے جوڑے کو حل کرنے کے لیئے، پہلے کسی ایک متغیر کے لیئے مساواتوں میں سے کسی ایک کو حل کریں۔ پھر اس متغیر کے لیئے نتائج کو کسی دوسری مساوات میں متبادل کریں۔

$$21x+7y=42,-5x+5y=10$$

مساوی نشان کی بائیں ہاتھ کی جانب x کو اکیلا کر کے ان مساوات میں سے ایک کا انتخاب کریں اور اسے x کے لئے حل کریں۔

$$21x+7y=42$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 7y منہا کریں۔

$$21x=-7y+42$$

21 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$x=\frac{1}{21}\left(-7y+42\right)$$

\frac{1}{21} کو -7y+42 مرتبہ ضرب دیں۔

$$x=-\frac{1}{3}y+2$$

دیگر مساوات -5x+5y=10، میں x کے لئے-\frac{y}{3}+2 کو متبادل کریں۔

$$-5\left(-\frac{1}{3}y+2\right)+5y=10$$

-5 کو -\frac{y}{3}+2 مرتبہ ضرب دیں۔

$$\frac{5}{3}y-10+5y=10$$

\frac{5y}{3} کو 5y میں شامل کریں۔

$$\frac{20}{3}y-10=10$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 10 کو شامل کریں۔

$$\frac{20}{3}y=20$$

مساوات کی دونوں اطراف کو \frac{20}{3} سے تقسیم کریں، جو کہ دونوں اطراف کو کسر کے معکوس کو ضرب دینے کی طرح ہے۔

$$y=3$$

x=-\frac{1}{3}y+2 میں y کے لئے 3 کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ x کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$x=-\frac{1}{3}\times 3+2$$

-\frac{1}{3} کو 3 مرتبہ ضرب دیں۔

$$x=-1+2$$

2 کو -1 میں شامل کریں۔

$$x=1$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$x=1,y=3$$

میٹرکس کا استعمال کرنے کے اقدامات

مساواتوں کو معیاری وضع میں ڈالیں اور پھر مساوات کے نظام کو حل کرنے کے لیے میٹرکس استعمال کریں۔

$$21x+7y=42,-5x+5y=10$$

مساواتوں کو میٹرکس صورت میں لکھیں۔

$$\left(\begin{matrix}21&7\\-5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}42\\10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}21&7\\-5&5\end{matrix}\right) کے معکوس میٹرکس سے بائیں جانب مساوات سے ضرب دیں۔

$$inverse(\left(\begin{matrix}21&7\\-5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21&7\\-5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}21&7\\-5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}42\\10\end{matrix}\right)$$

ایک میٹرکس کا حاصل ضرب اور اس کا معکوس شناختی میٹرکس ہے۔

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}21&7\\-5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}42\\10\end{matrix}\right)$$

مساوی نشان کے بائیں ہاتھ کی جانب میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}21&7\\-5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}42\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 میٹرکس \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) کے لئے، معکوس میٹرکس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ہے، لہذا میٹرکس مساوات کو میٹرکس ضرب مسئلہ کے طور پر دوبارہ لکھا جا سکتا ہے۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21\times 5-7\left(-5\right)}&-\frac{7}{21\times 5-7\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{21\times 5-7\left(-5\right)}&\frac{21}{21\times 5-7\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}42\\10\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{28}&-\frac{1}{20}\\\frac{1}{28}&\frac{3}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}42\\10\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{28}\times 42-\frac{1}{20}\times 10\\\frac{1}{28}\times 42+\frac{3}{20}\times 10\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کے x اور y عناصر کو اخذ کریں۔

$$x=1,y=3$$

خاتمے کا استعمال کرنے کے اقدامات

خارجی طریقے سے حل کرنے کے لیئے، متغیرات میں سے کسی ایک کا عددی سر دونوں مساوات میں لازمی ایک جیسا ہونا چاہیئے تا کہ ایک متغیر دوسرے متغیر سے تفریق ہونے کی صورت میں متغیرات منسوخ ہوجائیں۔

$$21x+7y=42,-5x+5y=10$$

21x اور -5x کو برابر بنانے کے لئے، تمام اصطلاحات کو پہلے قاعدے پر -5 سے اور تمام اصطلاحات کو دوسرے کی ہر ایک جانب 21 سے ضرب دیں۔

$$-5\times 21x-5\times 7y=-5\times 42,21\left(-5\right)x+21\times 5y=21\times 10$$

سادہ کریں۔

$$-105x-35y=-210,-105x+105y=210$$

مساوی نشان کی ہر جانب ایک جیسے اصطلاحات کو تفریق کر کے -105x+105y=210 کو -105x-35y=-210 سے منہا کریں۔

$$-105x+105x-35y-105y=-210-210$$

-105x کو 105x میں شامل کریں۔ اصطلاحات -105x اور 105x قلم زد ہو گئے ہیں، جس کے نتیجے میں مساوات میں صرف ایک متغیر باقی ہے جے حل کیا جا سکتا ہے۔

$$-35y-105y=-210-210$$

-35y کو -105y میں شامل کریں۔

$$-140y=-210-210$$

-210 کو -210 میں شامل کریں۔

$$-140y=-420$$

-140 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$y=3$$

-5x+5y=10 میں y کے لئے 3 کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ x کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$-5x+5\times 3=10$$

5 کو 3 مرتبہ ضرب دیں۔

$$-5x+15=10$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 15 منہا کریں۔

$$-5x=-5$$

-5 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$x=1$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$x=1,y=3$$