{l}{200x+300y=360}{300x+200y=340} حل کریں

$$\left\{ \begin{array} { l } { 200 x + 300 y = 360 } \\ { 300 x + 200 y = 340 } \end{array} \right.$$

x، y کے لئے حل کریں

$$x=\frac{3}{5}=0.6$$

$$y=\frac{4}{5}=0.8$$

متبادل استعمال کرنے کے اقدامات

متبادل کا استعمال کرتے ہوئے مساواتوں کے جوڑے کو حل کرنے کے لیئے، پہلے کسی ایک متغیر کے لیئے مساواتوں میں سے کسی ایک کو حل کریں۔ پھر اس متغیر کے لیئے نتائج کو کسی دوسری مساوات میں متبادل کریں۔

$$200x+300y=360,300x+200y=340$$

مساوی نشان کی بائیں ہاتھ کی جانب x کو اکیلا کر کے ان مساوات میں سے ایک کا انتخاب کریں اور اسے x کے لئے حل کریں۔

$$200x+300y=360$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 300y منہا کریں۔

$$200x=-300y+360$$

200 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$x=\frac{1}{200}\left(-300y+360\right)$$

\frac{1}{200} کو -300y+360 مرتبہ ضرب دیں۔

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{9}{5}$$

دیگر مساوات 300x+200y=340، میں x کے لئے-\frac{3y}{2}+\frac{9}{5} کو متبادل کریں۔

$$300\left(-\frac{3}{2}y+\frac{9}{5}\right)+200y=340$$

300 کو -\frac{3y}{2}+\frac{9}{5} مرتبہ ضرب دیں۔

$$-450y+540+200y=340$$

-450y کو 200y میں شامل کریں۔

$$-250y+540=340$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 540 منہا کریں۔

$$-250y=-200$$

-250 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$y=\frac{4}{5}$$

x=-\frac{3}{2}y+\frac{9}{5} میں y کے لئے \frac{4}{5} کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ x کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{4}{5}+\frac{9}{5}$$

نیومیریٹر کو نیومیریٹر بار اور ڈینومینیٹر کو ڈینومینیٹر بار ضرب دے کر \frac{4}{5} کو -\frac{3}{2} مرتبہ ضرب دیں۔ اور پھر کسر کو اگر ممکن ہو تو کم ترین اصطلاح تک کم کریں۔

$$x=\frac{-6+9}{5}$$

ایک مشترکہ ڈینومینیٹر کو ڈھونڈتے ہوئے اور نیومیریٹر کو شامل کر کے \frac{9}{5} کو -\frac{6}{5} میں شامل کریں۔ اور پھر کسر کو اگر ممکن ہو تو پست ترین اصطلاح تک گھٹائیں۔

$$x=\frac{3}{5}$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{4}{5}$$

میٹرکس کا استعمال کرنے کے اقدامات

مساواتوں کو معیاری وضع میں ڈالیں اور پھر مساوات کے نظام کو حل کرنے کے لیے میٹرکس استعمال کریں۔

$$200x+300y=360,300x+200y=340$$

مساواتوں کو میٹرکس صورت میں لکھیں۔

$$\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right) کے معکوس میٹرکس سے بائیں جانب مساوات سے ضرب دیں۔

$$inverse(\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

ایک میٹرکس کا حاصل ضرب اور اس کا معکوس شناختی میٹرکس ہے۔

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

مساوی نشان کے بائیں ہاتھ کی جانب میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

2\times 2 میٹرکس \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) کے لئے، معکوس میٹرکس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ہے، لہذا میٹرکس مساوات کو میٹرکس ضرب مسئلہ کے طور پر دوبارہ لکھا جا سکتا ہے۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{200}{200\times 200-300\times 300}&-\frac{300}{200\times 200-300\times 300}\\-\frac{300}{200\times 200-300\times 300}&\frac{200}{200\times 200-300\times 300}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{250}&\frac{3}{500}\\\frac{3}{500}&-\frac{1}{250}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{250}\times 360+\frac{3}{500}\times 340\\\frac{3}{500}\times 360-\frac{1}{250}\times 340\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\\\frac{4}{5}\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کے x اور y عناصر کو اخذ کریں۔

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{4}{5}$$

خاتمے کا استعمال کرنے کے اقدامات

خارجی طریقے سے حل کرنے کے لیئے، متغیرات میں سے کسی ایک کا عددی سر دونوں مساوات میں لازمی ایک جیسا ہونا چاہیئے تا کہ ایک متغیر دوسرے متغیر سے تفریق ہونے کی صورت میں متغیرات منسوخ ہوجائیں۔

$$200x+300y=360,300x+200y=340$$

200x اور 300x کو برابر بنانے کے لئے، تمام اصطلاحات کو پہلے قاعدے پر 300 سے اور تمام اصطلاحات کو دوسرے کی ہر ایک جانب 200 سے ضرب دیں۔

$$300\times 200x+300\times 300y=300\times 360,200\times 300x+200\times 200y=200\times 340$$

سادہ کریں۔

$$60000x+90000y=108000,60000x+40000y=68000$$

مساوی نشان کی ہر جانب ایک جیسے اصطلاحات کو تفریق کر کے 60000x+40000y=68000 کو 60000x+90000y=108000 سے منہا کریں۔

$$60000x-60000x+90000y-40000y=108000-68000$$

60000x کو -60000x میں شامل کریں۔ اصطلاحات 60000x اور -60000x قلم زد ہو گئے ہیں، جس کے نتیجے میں مساوات میں صرف ایک متغیر باقی ہے جے حل کیا جا سکتا ہے۔

$$90000y-40000y=108000-68000$$

90000y کو -40000y میں شامل کریں۔

$$50000y=108000-68000$$

108000 کو -68000 میں شامل کریں۔

$$50000y=40000$$

50000 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$y=\frac{4}{5}$$

300x+200y=340 میں y کے لئے \frac{4}{5} کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ x کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$300x+200\times \frac{4}{5}=340$$

200 کو \frac{4}{5} مرتبہ ضرب دیں۔

$$300x+160=340$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 160 منہا کریں۔

$$300x=180$$

300 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$x=\frac{3}{5}$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{4}{5}$$