{l}{20+x+y=115}{11x=8y} حل کریں

$$\left\{ \begin{array} { l } { 20 + x + y = 115 } \\ { 11 x = 8 y } \end{array} \right.$$

x، y کے لئے حل کریں

$$x=40$$

$$y=55$$

متبادل استعمال کرنے کے اقدامات

پہلی مساوات پر غور کریں۔ 20 کو دونوں طرف سے منہا کریں۔

$$x+y=115-20$$

95 حاصل کرنے کے لئے 115 کو 20 سے تفریق کریں۔

$$x+y=95$$

دوسری مساوات پر غور کریں۔ 8y کو دونوں طرف سے منہا کریں۔

$$11x-8y=0$$

متبادل کا استعمال کرتے ہوئے مساواتوں کے جوڑے کو حل کرنے کے لیئے، پہلے کسی ایک متغیر کے لیئے مساواتوں میں سے کسی ایک کو حل کریں۔ پھر اس متغیر کے لیئے نتائج کو کسی دوسری مساوات میں متبادل کریں۔

$$x+y=95,11x-8y=0$$

مساوی نشان کی بائیں ہاتھ کی جانب x کو اکیلا کر کے ان مساوات میں سے ایک کا انتخاب کریں اور اسے x کے لئے حل کریں۔

$$x+y=95$$

مساوات کے دونوں اطراف سے y منہا کریں۔

$$x=-y+95$$

دیگر مساوات 11x-8y=0، میں x کے لئے-y+95 کو متبادل کریں۔

$$11\left(-y+95\right)-8y=0$$

11 کو -y+95 مرتبہ ضرب دیں۔

$$-11y+1045-8y=0$$

-11y کو -8y میں شامل کریں۔

$$-19y+1045=0$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 1045 منہا کریں۔

$$-19y=-1045$$

-19 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$y=55$$

x=-y+95 میں y کے لئے 55 کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ x کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$x=-55+95$$

95 کو -55 میں شامل کریں۔

$$x=40$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$x=40,y=55$$

میٹرکس کا استعمال کرنے کے اقدامات

پہلی مساوات پر غور کریں۔ 20 کو دونوں طرف سے منہا کریں۔

$$x+y=115-20$$

95 حاصل کرنے کے لئے 115 کو 20 سے تفریق کریں۔

$$x+y=95$$

دوسری مساوات پر غور کریں۔ 8y کو دونوں طرف سے منہا کریں۔

$$11x-8y=0$$

مساواتوں کو معیاری وضع میں ڈالیں اور پھر مساوات کے نظام کو حل کرنے کے لیے میٹرکس استعمال کریں۔

$$x+y=95,11x-8y=0$$

مساواتوں کو میٹرکس صورت میں لکھیں۔

$$\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right) کے معکوس میٹرکس سے بائیں جانب مساوات سے ضرب دیں۔

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

ایک میٹرکس کا حاصل ضرب اور اس کا معکوس شناختی میٹرکس ہے۔

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

مساوی نشان کے بائیں ہاتھ کی جانب میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 میٹرکس \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) کے لئے، معکوس میٹرکس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ہے، لہذا میٹرکس مساوات کو میٹرکس ضرب مسئلہ کے طور پر دوبارہ لکھا جا سکتا ہے۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{-8-11}&-\frac{1}{-8-11}\\-\frac{11}{-8-11}&\frac{1}{-8-11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{19}&\frac{1}{19}\\\frac{11}{19}&-\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{19}\times 95\\\frac{11}{19}\times 95\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\55\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کے x اور y عناصر کو اخذ کریں۔

$$x=40,y=55$$

خاتمے کا استعمال کرنے کے اقدامات

پہلی مساوات پر غور کریں۔ 20 کو دونوں طرف سے منہا کریں۔

$$x+y=115-20$$

95 حاصل کرنے کے لئے 115 کو 20 سے تفریق کریں۔

$$x+y=95$$

دوسری مساوات پر غور کریں۔ 8y کو دونوں طرف سے منہا کریں۔

$$11x-8y=0$$

خارجی طریقے سے حل کرنے کے لیئے، متغیرات میں سے کسی ایک کا عددی سر دونوں مساوات میں لازمی ایک جیسا ہونا چاہیئے تا کہ ایک متغیر دوسرے متغیر سے تفریق ہونے کی صورت میں متغیرات منسوخ ہوجائیں۔

$$x+y=95,11x-8y=0$$

x اور 11x کو برابر بنانے کے لئے، تمام اصطلاحات کو پہلے قاعدے پر 11 سے اور تمام اصطلاحات کو دوسرے کی ہر ایک جانب 1 سے ضرب دیں۔

$$11x+11y=11\times 95,11x-8y=0$$

سادہ کریں۔

$$11x+11y=1045,11x-8y=0$$

مساوی نشان کی ہر جانب ایک جیسے اصطلاحات کو تفریق کر کے 11x-8y=0 کو 11x+11y=1045 سے منہا کریں۔

$$11x-11x+11y+8y=1045$$

11x کو -11x میں شامل کریں۔ اصطلاحات 11x اور -11x قلم زد ہو گئے ہیں، جس کے نتیجے میں مساوات میں صرف ایک متغیر باقی ہے جے حل کیا جا سکتا ہے۔

$$11y+8y=1045$$

11y کو 8y میں شامل کریں۔

$$19y=1045$$

19 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$y=55$$

11x-8y=0 میں y کے لئے 55 کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ x کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$11x-8\times 55=0$$

-8 کو 55 مرتبہ ضرب دیں۔

$$11x-440=0$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 440 کو شامل کریں۔

$$11x=440$$

11 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$x=40$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$x=40,y=55$$