{l}{2x+3y=780}{5x+4y=1320} حل کریں

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 780 } \\ { 5 x + 4 y = 1320 } \end{array} \right.$$

x، y کے لئے حل کریں

$$x=120$$

$$y=180$$

متبادل استعمال کرنے کے اقدامات

متبادل کا استعمال کرتے ہوئے مساواتوں کے جوڑے کو حل کرنے کے لیئے، پہلے کسی ایک متغیر کے لیئے مساواتوں میں سے کسی ایک کو حل کریں۔ پھر اس متغیر کے لیئے نتائج کو کسی دوسری مساوات میں متبادل کریں۔

$$2x+3y=780,5x+4y=1320$$

مساوی نشان کی بائیں ہاتھ کی جانب x کو اکیلا کر کے ان مساوات میں سے ایک کا انتخاب کریں اور اسے x کے لئے حل کریں۔

$$2x+3y=780$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 3y منہا کریں۔

$$2x=-3y+780$$

2 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+780\right)$$

\frac{1}{2} کو -3y+780 مرتبہ ضرب دیں۔

$$x=-\frac{3}{2}y+390$$

دیگر مساوات 5x+4y=1320، میں x کے لئے-\frac{3y}{2}+390 کو متبادل کریں۔

$$5\left(-\frac{3}{2}y+390\right)+4y=1320$$

5 کو -\frac{3y}{2}+390 مرتبہ ضرب دیں۔

$$-\frac{15}{2}y+1950+4y=1320$$

-\frac{15y}{2} کو 4y میں شامل کریں۔

$$-\frac{7}{2}y+1950=1320$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 1950 منہا کریں۔

$$-\frac{7}{2}y=-630$$

مساوات کی دونوں اطراف کو -\frac{7}{2} سے تقسیم کریں، جو کہ دونوں اطراف کو کسر کے معکوس کو ضرب دینے کی طرح ہے۔

$$y=180$$

x=-\frac{3}{2}y+390 میں y کے لئے 180 کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ x کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$x=-\frac{3}{2}\times 180+390$$

-\frac{3}{2} کو 180 مرتبہ ضرب دیں۔

$$x=-270+390$$

390 کو -270 میں شامل کریں۔

$$x=120$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$x=120,y=180$$

میٹرکس کا استعمال کرنے کے اقدامات

مساواتوں کو معیاری وضع میں ڈالیں اور پھر مساوات کے نظام کو حل کرنے کے لیے میٹرکس استعمال کریں۔

$$2x+3y=780,5x+4y=1320$$

مساواتوں کو میٹرکس صورت میں لکھیں۔

$$\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}780\\1320\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right) کے معکوس میٹرکس سے بائیں جانب مساوات سے ضرب دیں۔

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}780\\1320\end{matrix}\right)$$

ایک میٹرکس کا حاصل ضرب اور اس کا معکوس شناختی میٹرکس ہے۔

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}780\\1320\end{matrix}\right)$$

مساوی نشان کے بائیں ہاتھ کی جانب میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}780\\1320\end{matrix}\right)$$

2\times 2 میٹرکس \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) کے لئے، معکوس میٹرکس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ہے، لہذا میٹرکس مساوات کو میٹرکس ضرب مسئلہ کے طور پر دوبارہ لکھا جا سکتا ہے۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-3\times 5}&-\frac{3}{2\times 4-3\times 5}\\-\frac{5}{2\times 4-3\times 5}&\frac{2}{2\times 4-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}780\\1320\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{7}&\frac{3}{7}\\\frac{5}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}780\\1320\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{7}\times 780+\frac{3}{7}\times 1320\\\frac{5}{7}\times 780-\frac{2}{7}\times 1320\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}120\\180\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کے x اور y عناصر کو اخذ کریں۔

$$x=120,y=180$$

خاتمے کا استعمال کرنے کے اقدامات

خارجی طریقے سے حل کرنے کے لیئے، متغیرات میں سے کسی ایک کا عددی سر دونوں مساوات میں لازمی ایک جیسا ہونا چاہیئے تا کہ ایک متغیر دوسرے متغیر سے تفریق ہونے کی صورت میں متغیرات منسوخ ہوجائیں۔

$$2x+3y=780,5x+4y=1320$$

2x اور 5x کو برابر بنانے کے لئے، تمام اصطلاحات کو پہلے قاعدے پر 5 سے اور تمام اصطلاحات کو دوسرے کی ہر ایک جانب 2 سے ضرب دیں۔

$$5\times 2x+5\times 3y=5\times 780,2\times 5x+2\times 4y=2\times 1320$$

سادہ کریں۔

$$10x+15y=3900,10x+8y=2640$$

مساوی نشان کی ہر جانب ایک جیسے اصطلاحات کو تفریق کر کے 10x+8y=2640 کو 10x+15y=3900 سے منہا کریں۔

$$10x-10x+15y-8y=3900-2640$$

10x کو -10x میں شامل کریں۔ اصطلاحات 10x اور -10x قلم زد ہو گئے ہیں، جس کے نتیجے میں مساوات میں صرف ایک متغیر باقی ہے جے حل کیا جا سکتا ہے۔

$$15y-8y=3900-2640$$

15y کو -8y میں شامل کریں۔

$$7y=3900-2640$$

3900 کو -2640 میں شامل کریں۔

$$7y=1260$$

7 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$y=180$$

5x+4y=1320 میں y کے لئے 180 کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ x کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$5x+4\times 180=1320$$

4 کو 180 مرتبہ ضرب دیں۔

$$5x+720=1320$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 720 منہا کریں۔

$$5x=600$$

5 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$x=120$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$x=120,y=180$$