{l}{1995x+1997y=5989}{1997x+1995y=5987} حل کریں

$$\left\{ \begin{array} { l } { 1995 x + 1997 y = 5989 } \\ { 1997 x + 1995 y = 5987 } \end{array} \right.$$

x، y کے لئے حل کریں

$$x=1$$

$$y=2$$

متبادل استعمال کرنے کے اقدامات

متبادل کا استعمال کرتے ہوئے مساواتوں کے جوڑے کو حل کرنے کے لیئے، پہلے کسی ایک متغیر کے لیئے مساواتوں میں سے کسی ایک کو حل کریں۔ پھر اس متغیر کے لیئے نتائج کو کسی دوسری مساوات میں متبادل کریں۔

$$1995x+1997y=5989,1997x+1995y=5987$$

مساوی نشان کی بائیں ہاتھ کی جانب x کو اکیلا کر کے ان مساوات میں سے ایک کا انتخاب کریں اور اسے x کے لئے حل کریں۔

$$1995x+1997y=5989$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 1997y منہا کریں۔

$$1995x=-1997y+5989$$

1995 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$x=\frac{1}{1995}\left(-1997y+5989\right)$$

\frac{1}{1995} کو -1997y+5989 مرتبہ ضرب دیں۔

$$x=-\frac{1997}{1995}y+\frac{5989}{1995}$$

دیگر مساوات 1997x+1995y=5987، میں x کے لئے\frac{-1997y+5989}{1995} کو متبادل کریں۔

$$1997\left(-\frac{1997}{1995}y+\frac{5989}{1995}\right)+1995y=5987$$

1997 کو \frac{-1997y+5989}{1995} مرتبہ ضرب دیں۔

$$-\frac{3988009}{1995}y+\frac{11960033}{1995}+1995y=5987$$

-\frac{3988009y}{1995} کو 1995y میں شامل کریں۔

$$-\frac{7984}{1995}y+\frac{11960033}{1995}=5987$$

مساوات کے دونوں اطراف سے \frac{11960033}{1995} منہا کریں۔

$$-\frac{7984}{1995}y=-\frac{15968}{1995}$$

مساوات کی دونوں اطراف کو -\frac{7984}{1995} سے تقسیم کریں، جو کہ دونوں اطراف کو کسر کے معکوس کو ضرب دینے کی طرح ہے۔

$$y=2$$

x=-\frac{1997}{1995}y+\frac{5989}{1995} میں y کے لئے 2 کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ x کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$x=-\frac{1997}{1995}\times 2+\frac{5989}{1995}$$

-\frac{1997}{1995} کو 2 مرتبہ ضرب دیں۔

$$x=\frac{-3994+5989}{1995}$$

ایک مشترکہ ڈینومینیٹر کو ڈھونڈتے ہوئے اور نیومیریٹر کو شامل کر کے \frac{5989}{1995} کو -\frac{3994}{1995} میں شامل کریں۔ اور پھر کسر کو اگر ممکن ہو تو پست ترین اصطلاح تک گھٹائیں۔

$$x=1$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$x=1,y=2$$

میٹرکس کا استعمال کرنے کے اقدامات

مساواتوں کو معیاری وضع میں ڈالیں اور پھر مساوات کے نظام کو حل کرنے کے لیے میٹرکس استعمال کریں۔

$$1995x+1997y=5989,1997x+1995y=5987$$

مساواتوں کو میٹرکس صورت میں لکھیں۔

$$\left(\begin{matrix}1995&1997\\1997&1995\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5989\\5987\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1995&1997\\1997&1995\end{matrix}\right) کے معکوس میٹرکس سے بائیں جانب مساوات سے ضرب دیں۔

$$inverse(\left(\begin{matrix}1995&1997\\1997&1995\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1995&1997\\1997&1995\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1995&1997\\1997&1995\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5989\\5987\end{matrix}\right)$$

ایک میٹرکس کا حاصل ضرب اور اس کا معکوس شناختی میٹرکس ہے۔

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1995&1997\\1997&1995\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5989\\5987\end{matrix}\right)$$

مساوی نشان کے بائیں ہاتھ کی جانب میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1995&1997\\1997&1995\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5989\\5987\end{matrix}\right)$$

2\times 2 میٹرکس \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) کے لئے، معکوس میٹرکس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ہے، لہذا میٹرکس مساوات کو میٹرکس ضرب مسئلہ کے طور پر دوبارہ لکھا جا سکتا ہے۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1995}{1995\times 1995-1997\times 1997}&-\frac{1997}{1995\times 1995-1997\times 1997}\\-\frac{1997}{1995\times 1995-1997\times 1997}&\frac{1995}{1995\times 1995-1997\times 1997}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5989\\5987\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1995}{7984}&\frac{1997}{7984}\\\frac{1997}{7984}&-\frac{1995}{7984}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5989\\5987\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1995}{7984}\times 5989+\frac{1997}{7984}\times 5987\\\frac{1997}{7984}\times 5989-\frac{1995}{7984}\times 5987\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کے x اور y عناصر کو اخذ کریں۔

$$x=1,y=2$$

خاتمے کا استعمال کرنے کے اقدامات

خارجی طریقے سے حل کرنے کے لیئے، متغیرات میں سے کسی ایک کا عددی سر دونوں مساوات میں لازمی ایک جیسا ہونا چاہیئے تا کہ ایک متغیر دوسرے متغیر سے تفریق ہونے کی صورت میں متغیرات منسوخ ہوجائیں۔

$$1995x+1997y=5989,1997x+1995y=5987$$

1995x اور 1997x کو برابر بنانے کے لئے، تمام اصطلاحات کو پہلے قاعدے پر 1997 سے اور تمام اصطلاحات کو دوسرے کی ہر ایک جانب 1995 سے ضرب دیں۔

$$1997\times 1995x+1997\times 1997y=1997\times 5989,1995\times 1997x+1995\times 1995y=1995\times 5987$$

سادہ کریں۔

$$3984015x+3988009y=11960033,3984015x+3980025y=11944065$$

مساوی نشان کی ہر جانب ایک جیسے اصطلاحات کو تفریق کر کے 3984015x+3980025y=11944065 کو 3984015x+3988009y=11960033 سے منہا کریں۔

$$3984015x-3984015x+3988009y-3980025y=11960033-11944065$$

3984015x کو -3984015x میں شامل کریں۔ اصطلاحات 3984015x اور -3984015x قلم زد ہو گئے ہیں، جس کے نتیجے میں مساوات میں صرف ایک متغیر باقی ہے جے حل کیا جا سکتا ہے۔

$$3988009y-3980025y=11960033-11944065$$

3988009y کو -3980025y میں شامل کریں۔

$$7984y=11960033-11944065$$

11960033 کو -11944065 میں شامل کریں۔

$$7984y=15968$$

7984 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$y=2$$

1997x+1995y=5987 میں y کے لئے 2 کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ x کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$1997x+1995\times 2=5987$$

1995 کو 2 مرتبہ ضرب دیں۔

$$1997x+3990=5987$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 3990 منہا کریں۔

$$1997x=1997$$

1997 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$x=1$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$x=1,y=2$$