{l}{125x+110y=6100}{x+y=50} حل کریں

$$\left\{ \begin{array} { l } { 125 x + 110 y = 6100 } \\ { x + y = 50 } \end{array} \right.$$

x، y کے لئے حل کریں

$$x=40$$

$$y=10$$

متبادل استعمال کرنے کے اقدامات

متبادل کا استعمال کرتے ہوئے مساواتوں کے جوڑے کو حل کرنے کے لیئے، پہلے کسی ایک متغیر کے لیئے مساواتوں میں سے کسی ایک کو حل کریں۔ پھر اس متغیر کے لیئے نتائج کو کسی دوسری مساوات میں متبادل کریں۔

$$125x+110y=6100,x+y=50$$

مساوی نشان کی بائیں ہاتھ کی جانب x کو اکیلا کر کے ان مساوات میں سے ایک کا انتخاب کریں اور اسے x کے لئے حل کریں۔

$$125x+110y=6100$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 110y منہا کریں۔

$$125x=-110y+6100$$

125 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$x=\frac{1}{125}\left(-110y+6100\right)$$

\frac{1}{125} کو -110y+6100 مرتبہ ضرب دیں۔

$$x=-\frac{22}{25}y+\frac{244}{5}$$

دیگر مساوات x+y=50، میں x کے لئے-\frac{22y}{25}+\frac{244}{5} کو متبادل کریں۔

$$-\frac{22}{25}y+\frac{244}{5}+y=50$$

-\frac{22y}{25} کو y میں شامل کریں۔

$$\frac{3}{25}y+\frac{244}{5}=50$$

مساوات کے دونوں اطراف سے \frac{244}{5} منہا کریں۔

$$\frac{3}{25}y=\frac{6}{5}$$

مساوات کی دونوں اطراف کو \frac{3}{25} سے تقسیم کریں، جو کہ دونوں اطراف کو کسر کے معکوس کو ضرب دینے کی طرح ہے۔

$$y=10$$

x=-\frac{22}{25}y+\frac{244}{5} میں y کے لئے 10 کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ x کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$x=-\frac{22}{25}\times 10+\frac{244}{5}$$

-\frac{22}{25} کو 10 مرتبہ ضرب دیں۔

$$x=\frac{-44+244}{5}$$

ایک مشترکہ ڈینومینیٹر کو ڈھونڈتے ہوئے اور نیومیریٹر کو شامل کر کے \frac{244}{5} کو -\frac{44}{5} میں شامل کریں۔ اور پھر کسر کو اگر ممکن ہو تو پست ترین اصطلاح تک گھٹائیں۔

$$x=40$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$x=40,y=10$$

میٹرکس کا استعمال کرنے کے اقدامات

مساواتوں کو معیاری وضع میں ڈالیں اور پھر مساوات کے نظام کو حل کرنے کے لیے میٹرکس استعمال کریں۔

$$125x+110y=6100,x+y=50$$

مساواتوں کو میٹرکس صورت میں لکھیں۔

$$\left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right) کے معکوس میٹرکس سے بائیں جانب مساوات سے ضرب دیں۔

$$inverse(\left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

ایک میٹرکس کا حاصل ضرب اور اس کا معکوس شناختی میٹرکس ہے۔

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

مساوی نشان کے بائیں ہاتھ کی جانب میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

2\times 2 میٹرکس \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) کے لئے، معکوس میٹرکس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ہے، لہذا میٹرکس مساوات کو میٹرکس ضرب مسئلہ کے طور پر دوبارہ لکھا جا سکتا ہے۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{125-110}&-\frac{110}{125-110}\\-\frac{1}{125-110}&\frac{125}{125-110}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}&-\frac{22}{3}\\-\frac{1}{15}&\frac{25}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}\times 6100-\frac{22}{3}\times 50\\-\frac{1}{15}\times 6100+\frac{25}{3}\times 50\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\10\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کے x اور y عناصر کو اخذ کریں۔

$$x=40,y=10$$

خاتمے کا استعمال کرنے کے اقدامات

خارجی طریقے سے حل کرنے کے لیئے، متغیرات میں سے کسی ایک کا عددی سر دونوں مساوات میں لازمی ایک جیسا ہونا چاہیئے تا کہ ایک متغیر دوسرے متغیر سے تفریق ہونے کی صورت میں متغیرات منسوخ ہوجائیں۔

$$125x+110y=6100,x+y=50$$

125x اور x کو برابر بنانے کے لئے، تمام اصطلاحات کو پہلے قاعدے پر 1 سے اور تمام اصطلاحات کو دوسرے کی ہر ایک جانب 125 سے ضرب دیں۔

$$125x+110y=6100,125x+125y=125\times 50$$

سادہ کریں۔

$$125x+110y=6100,125x+125y=6250$$

مساوی نشان کی ہر جانب ایک جیسے اصطلاحات کو تفریق کر کے 125x+125y=6250 کو 125x+110y=6100 سے منہا کریں۔

$$125x-125x+110y-125y=6100-6250$$

125x کو -125x میں شامل کریں۔ اصطلاحات 125x اور -125x قلم زد ہو گئے ہیں، جس کے نتیجے میں مساوات میں صرف ایک متغیر باقی ہے جے حل کیا جا سکتا ہے۔

$$110y-125y=6100-6250$$

110y کو -125y میں شامل کریں۔

$$-15y=6100-6250$$

6100 کو -6250 میں شامل کریں۔

$$-15y=-150$$

-15 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$y=10$$

x+y=50 میں y کے لئے 10 کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ x کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$x+10=50$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 10 منہا کریں۔

$$x=40$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$x=40,y=10$$